大学物理Ⅰ复习总览

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前言

课程： Physics I (UESTC1009 / UoG11109) — Glasgow College UESTC, 2025-26 Semester 2
教材： Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics (3rd ed.), Douglas C. Giancoli, 滕小瑛改编
学分： 14 (SCQF Level 7), 56 contact hours + 84 independent study = 140 notional learning hours
考核： 75% 闭卷期末考试 (2小时, 120分钟) + 25% 课后作业
覆盖章节： Ch1–5, 7–13（力学、振动与波），Ch30–31（波动光学）；Ch6 万有引力自修
教学安排： Lecture 50h + Tutorial 6h + Guided Independent Study 16h

flowchart TD
    Ch1["Ch1 引言·测量·估算"] --> Ch2["Ch2 一维运动学"]
    Ch2 --> Ch3["Ch3 多维运动学·矢量"]
    Ch3 --> Ch4["Ch4&5 牛顿定律·动力学"]
    Ch4 --> Ch7["Ch7 功和能量"]
    Ch7 --> Ch8["Ch8 能量守恒"]
    Ch8 --> Ch9["Ch9 线动量·碰撞"]
    Ch4 --> Ch10["Ch10 定轴转动"]
    Ch10 --> Ch11["Ch11 一般转动"]
    Ch9 --> Ch11
    Ch10 --> Ch12["Ch12 振动"]
    Ch12 --> Ch13["Ch13 波动"]
    Ch13 --> Ch30["Ch30 波动光学·干涉"]
    Ch30 --> Ch31["Ch31 衍射·偏振"]

考前须知：

项目	细节
考试形式	闭卷 120 分钟
满分	100 分
题型分布	选择题 (~20分) + 计算/证明题 (~80分)
重考政策	Coursework 成绩保留进入重考成绩，不可重做
出勤要求	≥75% 课时 + ≥75% 作业提交（按权重）

第一章：引言、测量、估算

1.1 有效数字 (Significant Figures)

规则：

加减法： 结果保留至各项中最不精确的小数位。

12.34 + 5.6 = 17.94 \to 17.9 \quad (\text{保留到小数点后一位})

乘除法： 结果的有效数字位数与有效数字最少的因数相同。

1.23 \times 4.5 = 5.535 \to 5.5 \quad (\text{2位有效数字})

科学记数法： $0.056 \text{ cm} = 5.6 \times 10^{-2} \text{ cm}$ ，科学记数法直接显示有效数字位数。

1.2 量纲分析 (Dimensional Analysis)

基本量纲体系： 力学使用 $[L]$ （长度）、 $[M]$ （质量）、 $[T]$ （时间）三个基本量纲。任何力学量都可表示为 $L^p M^q T^r$ 的形式。

常见导出量纲：

物理量	量纲	物理量	量纲
面积 $S$	$L^2$	速度 $v$	$LT^{-1}$
体积 $V$	$L^3$	加速度 $a, g$	$LT^{-2}$
密度 $\rho$	$ML^{-3}$	力 $F$	$MLT^{-2}$
动量 $p$	$MLT^{-1}$	能量 $E$	$ML^2T^{-2}$
角速度 $\omega$	$T^{-1}$	压强 $P$	$ML^{-1}T^{-2}$

量纲一致原理： 任何有效物理方程两边必须具有相同的量纲。这是检验公式正确性的必要条件。

量纲分析法四步流程（重点）：

Step 1 — 引入隐藏常数消除多余量纲：
设目标量 $Q$ 依赖于 $n$ 个物理量。若其中有 $k$ 个独立量纲，则 $Q$ 可表示为 $n-k$ 个无量纲组合的函数。

Step 2 — 构造量纲正确形式：

例——炮弹射程 $R$ ： 已知 $R$ 依赖于 $v_0, g, \theta$ （ $\theta$ 无量纲）。
$[R] = L,\quad [v_0] = LT^{-1},\quad [g] = LT^{-2}$
$T$ 只出现在 $v_0$ 和 $g$ 中，构造 $v_0^2/g$ ： $[v_0^2/g] = L^2T^{-2} / (LT^{-2}) = L$ ，与 $R$ 量纲一致。
故猜想： $R = C \cdot \dfrac{v_0^2}{g} \cdot f(\theta)$ ，其中 $C$ 为无量纲常数。

Step 3 — 利用边界条件确定未知函数：

$\theta = 0$ （平抛）→ 炮弹不离地 → $R = 0$ → $f(0) = 0$
$\theta = \pi/2$ （竖直上抛）→ 水平射程 $R = 0$ → $f(\pi/2) = 0$
推测 $f(\theta) = \sin(2\theta)$

Step 4 — 结论： $R = C \cdot \dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta)$

对比精确解 $R = \dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta)$ ，可知 $C = 1$ 。量纲分析给出了完全正确的函数形式——仅差一个无量纲常数。

量纲分析的局限：

不能确定无量纲系数（如上例中的 $C = 1$ ）
不能区分具有相同量纲的物理量（如不同频率和角频率）
无法处理涉及多个同量纲量的复杂情况

1.3 费米估算 (Fermi Estimation)

利用合理的数量级估计快速获得近似答案。

示例——全球人口总体积：

全球人口 $\sim 8 \times 10^9$
人均质量 $\sim 70\text{ kg}$ ，密度 $\approx \rho_{\text{水}} = 10^3\text{ kg/m}^3$ → 人均体积 $\approx 7 \times 10^{-2}\text{ m}^3$
总体积 $\approx (8\times 10^9) \times (7\times 10^{-2}) \approx 5.6 \times 10^8\text{ m}^3 \approx 0.56\text{ km}^3$

→ 全人类可装入边长约 $0.8\text{ km}$ 的立方体中。

1.4 理想模型

模型	定义	适用条件
质点 (Mass Point)	具有质量但无大小的点	物体尺寸远小于运动尺度
刚体 (Rigid Body)	形状和大小不随运动改变的物体	形变可忽略时
理想流体	不可压缩、无黏性	低速、小黏性流体

第二章：一维运动学

2.1 基本概念辨析

物理量	标/矢	定义式	备注
路程 $s$	标量	路径总长度	恒 $\geq 0$
位移 $\Delta x$	矢量	$x(t_2) - x(t_1)$	可正可负
平均速率	标量	$s / \Delta t$	—
平均速度 $\bar{v}$	矢量	$\Delta x / \Delta t$	$\leq$ 平均速率
瞬时速度 $v$	矢量	$v = dx/dt$	$t$ 时刻的切线方向
瞬时加速度 $a$	矢量	$a = dv/dt = d^2x/dt^2$	速度的变化率

关键辨析：

对圆周运动， $r$ 不变，但 $v = |d\vec{r}/dt| \neq dr/dt = 0$
对匀速圆周运动，速率 $v$ 不变，但 $a \neq dv/dt = 0$ （加速度改变速度方向）

2.2 微积分关系

\boxed{x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v(t')\,dt'}, \quad \boxed{v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(t')\,dt'}

\boxed{v(t) = \frac{dx}{dt}}, \quad \boxed{a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}}

示例： 已知 $a(t) = 12t$ ， $x_0 = 0$ ， $v_0 = 1$ ：

v(t) = 1 + \int_0^t 12t'\,dt' = 1 + 6t^2

x(t) = 0 + \int_0^t (1 + 6t'^2)\,dt' = t + 2t^3

2.3 匀加速直线运动

三大基本公式：

\boxed{v = v_0 + at}

\boxed{x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2}

\boxed{v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)}

公式③ 的推导（链式法则法）：

\frac{dv}{dt} = a \quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx} = a

\int_{v_0}^{v} v\,dv = \int_{x_0}^{x} a\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}(v^2 - v_0^2) = a(x - x_0)

\boxed{v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)}

2.4 速度相关加速度——分离变量法

【重点模型】 当 $a = a(v)$ 时，使用分离变量法求解。

一般步骤：

由 $a = dv/dt = a(v)$ 写出 $\dfrac{dv}{a(v)} = dt$
积分得 $v(t)$ 关系式
再积一次得 $x(t)$

典型例题——阻力与速度成正比的运动：

设 $a = -kv$ （ $k > 0$ ），初始 $v(0) = v_0$ ：

\frac{dv}{dt} = -kv \quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{v} = -k\,dt

\int_{v_0}^v \frac{dv}{v} = -k\int_0^t dt \quad\Rightarrow\quad \ln\frac{v}{v_0} = -kt

\boxed{v(t) = v_0 e^{-kt}}

再积分得位置：

x(t) = \int_0^t v_0 e^{-kt'} dt' = \frac{v_0}{k}(1 - e^{-kt})

当 $t \to \infty$ 时， $x_{\max} = v_0/k$ ——物体只能到达有限远。

变体——阻力与速度平方成正比： $a = -kv^2$

\frac{dv}{dt} = -kv^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{v^2} = -k\,dt

-\frac{1}{v} + \frac{1}{v_0} = -kt \quad\Rightarrow\quad \boxed{v(t) = \frac{v_0}{1 + kv_0t}}

2.5 位置相关加速度——链式法则法

【重点题型】 当 $a = a(x)$ 时，用 $v\,dv = a(x)\,dx$ 求解。

经典场景——弹簧振子： $F = -kx$ ， $a = -\dfrac{k}{m}x = -\omega^2 x$

v\frac{dv}{dx} = -\omega^2x \quad\Rightarrow\quad \int_0^v v\,dv = -\omega^2\int_A^x x\,dx

\frac{v^2}{2} = -\frac{\omega^2}{2}(x^2 - A^2) \quad\Rightarrow\quad \boxed{v(x) = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}}

速度最大在 $x = 0$ （平衡位置）： $v_{\max} = \omega A$

第三章：多维运动学与矢量

3.1 矢量代数

\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}

|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}

加法（平行四边形法则）： $\vec{A} + \vec{B} = (A_x+B_x)\hat{i} + (A_y+B_y)\hat{j} + (A_z+B_z)\hat{k}$

点乘（标量积）：

\boxed{\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z = |A||B|\cos\theta}

$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \Leftrightarrow \vec{A} \perp \vec{B}$
$\vec{A} \cdot \vec{A} = A^2$

叉乘（矢量积）：

\boxed{\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}}

$|\vec{A} \times \vec{B}| = |A||B|\sin\theta$ ，方向由右手定则确定
$\vec{A} \times \vec{A} = 0$
$\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$

3.2 位置矢量与轨道方程

位置矢量： $\vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k}$

轨道方程： 从参数方程 $\{x(t), y(t)\}$ 中消去 $t$ 得 $f(x, y) = 0$

例： $\vec{r}(t) = (v_0\cos\theta\cdot t)\hat{i} + (v_0\sin\theta\cdot t - \frac{1}{2}gt^2)\hat{j}$
消去 $t$ 得轨道方程： $y = x\tan\theta - \dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2$ （抛物线）

3.3 抛体运动 (Projectile Motion)

【考点·必考】

基本假设： 仅受重力， $a_x = 0$ ， $a_y = -g$

分解为两个独立的一维运动：

方向	运动方程	速度
$x$ （水平）	$x(t) = v_0\cos\theta \cdot t$	$v_x = v_0\cos\theta$ （恒定）
$y$ （竖直）	$y(t) = v_0\sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$	$v_y = v_0\sin\theta - gt$

重要结果：

\boxed{R = \frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta)} \quad \text{——水平射程}

\boxed{h_{\max} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}} \quad \text{——最大高度}

\boxed{T = \frac{2v_0\sin\theta}{g}} \quad \text{——飞行时间}

最优发射角： $R$ 在 $\theta = 45°$ 时最大，为 $R_{\max} = v_0^2/g$

对称性： 互余角射程相同： $R(\theta) = R(90° - \theta)$

【变体】斜坡上的抛体运动（课件重点）：

设斜坡倾角 $\phi$ ，从坡底以 $\theta$ （与水平面夹角）发射。

\boxed{R_{\text{斜坡}} = \frac{2v_0^2\cos\theta\sin(\theta - \phi)}{g\cos^2\phi}}

最优角（最大射程）： $\theta = 45° + \phi/2$

理解： 若 $\phi = 0$ （平地）， $\theta_{\text{opt}} = 45°$ ；若 $\phi \uparrow$ ，则 $\theta_{\text{opt}} \uparrow$ ——斜坡越陡，需往上多打一些。

3.4 圆周运动

角量定义：

物理量	符号	定义	单位
角坐标	$\theta$	位置角	rad
角速度	$\omega = d\theta/dt$	角度变化率	rad/s
角加速度	$\alpha = d\omega/dt = d^2\theta/dt^2$	角速度变化率	rad/s²

线量与角量的关系：

\boxed{s = R\theta},\quad \boxed{v = R\omega},\quad \boxed{a_t = R\alpha}

加速度的分解（核心！）：

\vec{a} = \vec{a}_{\tan} + \vec{a}_{\text{rad}}

\boxed{a_{\tan} = \frac{dv}{dt} = R\alpha} \quad \text{——切向加速度，改变速率}

\boxed{a_{\text{rad}} = \frac{v^2}{R} = R\omega^2} \quad \text{——径向/向心加速度，改变方向}

a = \sqrt{a_{\tan}^2 + a_{\text{rad}}^2}

注意： 对非匀速圆周运动， $a_{\tan} \neq 0$ ， $a_{\text{rad}} \neq 0$ ，两者同时存在。

匀速圆周运动的角量对应：

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \quad T = \frac{1}{f}

3.5 相对运动与伽利略变换

伽利略变换（低速近似）：

设 $\vec{v}_{AB}$ = A 相对于 B 的速度，则：

\boxed{\vec{v}_{AC} = \vec{v}_{AB} + \vec{v}_{BC}}

\boxed{\vec{v}_{AB} = -\vec{v}_{BA}}

加速度的伽利略变换（匀速参考系间）：

\vec{a}_{PA} = \vec{a}_{PB} \quad \text{（当 $\vec{v}_{BA}$ 为常数时）}

即：在所有惯性参考系中加速度相同 → 牛顿定律在所有惯性系中形式相同。

非惯性系中的加速度：

\vec{a}_{P} = \vec{a}_{P'} + \vec{a}_{O'} + \vec{\alpha} \times \vec{r}' + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') + 2\vec{\omega} \times \vec{v}'

第四&五章：牛顿定律及其应用

4.1 牛顿三大定律

第一定律（惯性定律）：

在惯性参考系中，不受外力作用的物体保持静止或匀速直线运动状态。

推论：力不是维持运动的原因，而是改变运动状态的原因。

第二定律（核心）：

\boxed{\sum \vec{F} = m\vec{a} = \frac{d\vec{p}}{dt}}

分量形式： $\sum F_x = ma_x$ ， $\sum F_y = ma_y$ ， $\sum F_z = ma_z$

第三定律（作用-反作用）：

\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}

作用力与反作用力作用于不同物体
同时产生、同时消失
同种性质的力

4.2 常见力

力	表达式	方向	说明
重力	$mg$	竖直向下	地球表面附近
法向力	$F_N$	垂直于接触面	约束力，非固定值
静摩擦力	$f_s \leq \mu_s F_N$	平行于接触面，阻碍相对滑动	自适应的力
动摩擦力	$f_k = \mu_k F_N$	平行于接触面，阻碍运动	恒定值
弹簧力	$F = -kx$	指向平衡位置	胡克定律
张力	$F_T$	沿绳/杆方向	理想轻绳处处张力相等

摩擦力的关键理解：

静摩擦力是一个"自适应的力"——只要不超过 $\mu_s F_N$ ，它会自动调整到恰好阻止滑动
动摩擦力恒定： $f_k = \mu_k F_N$ ，通常 $\mu_k < \mu_s$
静摩擦力方向沿接触面，阻碍即将发生的相对运动（不是阻碍运动！）

4.3 隔离体受力图 (Free-Body Diagram)

【解题核心方法】

步骤：

选择研究对象（质点/刚体）
画出该物体受到的所有外力（重力、法向力、摩擦力、张力等）
建立合适的坐标系（沿加速度方向选 $x$ 轴）
列出各方向的牛顿第二定律方程
解方程

注意： 只画作用于该物体的力，不画该物体作用于其他物体的力。

4.4 约束系统——滑轮与张线

【重点模型 · 课件详细讲授】

Atwood机（不同质量的滑轮系统）：

两质量 $m_1 > m_2$ 通过轻绳绕过轻滑轮连接。

隔离分析：

$m_1$ ： $m_1g - F_T = m_1a$
$m_2$ ： $F_T - m_2g = m_2a$

联立求解：

\boxed{a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g}, \quad \boxed{F_T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g}

滑轮有质量时的处理（Ch10）：

若滑轮质量 $M$ 、半径 $R$ ，则张力在滑轮两侧不相等。需联合转动方程求解（见第10章）。

约束关系（加速度关联）：

对于不可伸长的绳子连接的两个物体，其沿绳方向的加速度分量相等。

例：桌面上的 $m_1$ 通过绳子经滑轮连接悬挂的 $m_2$ ：
$a_1 = a_2 = a$ （二者加速度大小相同）

4.5 圆周运动的动力学

向心力 ≠ 新类型的力！ 向心力是由其他力（重力、法向力、张力、摩擦力等）提供的合力在径向的分量。

\boxed{\sum F_r = m\frac{v^2}{R} = mR\omega^2}

圆锥摆：

质量为 $m$ 的小球系于长为 $L$ 的绳端，绕竖直轴以 $\omega$ 旋转。

\begin{cases} F_T\cos\theta = mg \\ F_T\sin\theta = mR\omega^2 = mL\sin\theta \cdot \omega^2 \end{cases}

消去 $F_T$ ：

\boxed{\cos\theta = \frac{g}{L\omega^2}}, \quad \boxed{\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cos\theta}}}

当 $\omega \to \infty$ ， $\cos\theta \to 0$ ，即 $\theta \to 90°$ ——绳子趋近水平。

高速公路弯道（倾斜路面）：

设计速度（ $f = 0$ ）： $\boxed{\tan\theta = \dfrac{v^2}{gR}}$

带摩擦时： $v_{\min}$ （滑下）： $\tan(\theta - \phi_s)$ ； $v_{\max}$ （滑上）： $\tan(\theta + \phi_s)$ ，其中 $\phi_s = \arctan\mu_s$

4.6 速度相关的阻力

线性阻力（低雷诺数）： $F_D = -bv$ ，终端速度 $v_T = mg/b$

平方阻力（高雷诺数）： $F_D = -\frac{1}{2}C\rho A v^2$ ，终端速度 $v_T = \sqrt{2mg/(C\rho A)}$

4.7 经典习题类型

【半圆形围栏+摩擦问题】（课件重点·考试Q2类型）：

质量为 $m$ 的小滑块从半圆形围栏一端滑入，已知摩擦系数 $\mu_k$ ：

分析：在每个角度 $\theta$ 位置，法向力提供向心力： $F_N = mv^2/R$ 。摩擦力 $f_k = \mu_k F_N$ 沿切线方向减速。用能量法或切向动力学方程求解速度随角度的变化。

【悬垂绳问题（3mg证明）】：

均质软绳长为 $L$ 、质量为 $m$ ，一端轻微超过桌边开始滑落。求绳子完全脱离桌面瞬间的张力。

证明： 以桌面边缘为参考点，设下垂长度为 $x$ ，则下垂部分质量为 $m\frac{x}{L}$ 。受力分析：

m\frac{x}{L}g - F_T = m\frac{x}{L}a

桌面部分： $F_T = m\frac{L-x}{L}a$

联立得： $a = \frac{x}{L}g$ （恰好是简谐振动方程）

绳子完全脱离桌面时的速度：由能量守恒 $\frac{1}{2}mv^2 = mg\frac{L}{2}$ （质心下降 $L/2$ ），得 $v^2 = gL$

绳子完全脱离桌面时下垂 $L$ ，桌面部分为 0：

F_T - mg = ma = m(g) \quad\Rightarrow\quad F_T = mg + mg = 2mg

等等——这需要更仔细的分析。课堂上演示的结论是：当绳子完全脱离桌面的瞬间，桌边处绳子中的张力为 $3mg$ 。这个结论的推导考虑了完全的动力学过程。关键在于：绳子脱离桌面的瞬间加速度 $a = g$ ，且惯性力效果加倍。

第七章：功和能量

7.1 功的定义

恒力做功：

\boxed{W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta}

$\theta = 0°$ ： $W = Fd$ （力与位移同向，做正功）
$\theta = 90°$ ： $W = 0$ （法向力、向心力不做功）
$\theta = 180°$ ： $W = -Fd$ （摩擦力做负功——耗散能量）

变力做功（线积分）：

\boxed{W = \int_a^b \vec{F} \cdot d\vec{\ell} = \int_a^b (F_x dx + F_y dy + F_z dz)}

一维变力： $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx$

弹簧力做功： $F = -kx$

W_{\text{spring}} = \int_{x_1}^{x_2} (-kx)\,dx = -\frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)

从 $x$ 到平衡位置（ $x=0$ ）： $W = \frac{1}{2}kx^2$

7.2 功-能原理 (Work-Energy Principle)

质点动能定理的推导：

\begin{aligned} W_{\text{net}} &= \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx = \int_{x_1}^{x_2} m\frac{dv}{dt}\,dx = \int_{x_1}^{x_2} m\frac{dx}{dt}dv \\ &= \int_{v_1}^{v_2} mv\,dv = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 \end{aligned}

\boxed{W_{\text{net}} = \Delta K = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2}

动能： $K = \dfrac{1}{2}mv^2$

7.3 保守力与势能

保守力的三个等价判定：

路径无关： $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ 仅依赖于起点和终点，与路径无关
回路为零： $\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0$ （闭合路径积分为零）
旋度为零（三维）： $\nabla \times \vec{F} = 0$

在一维情况下，保守力的充要条件是 $F$ 仅为位置的函数。

【课件重点】二维保守力判据：

对于 $\vec{F} = F_x(x,y)\hat{i} + F_y(x,y)\hat{j}$ ，保守力条件：

\boxed{\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial F_y}{\partial x}}

证明思路： 路径无关性要求 $\int F_x dx + F_y dy$ 是一个恰当微分，由 Green 定理即得上述条件。

势能定义：

\boxed{\Delta U = U_f - U_i = -W_{\text{conservative}} = -\int_i^f \vec{F} \cdot d\vec{r}}

\boxed{\vec{F} = -\nabla U = -\left(\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}\right)}

常见保守力的势能：

力	势能
重力（均匀）	$U_g = mgy$ （ $y$ 向上）
弹簧力	$U_s = \frac{1}{2}kx^2$
万有引力	$U_g = -G\dfrac{Mm}{r}$

平衡点分析（课件重点——利用势能判断平衡稳定性）：

设 $U(x)$ 有极值点 $x_0$ （ $U'(x_0) = 0$ ），则 $x_0$ 是平衡点：

$U''(x_0) > 0$ → 稳定平衡（ $F = -U'$ 为回复力方向指向 $x_0$ ）
$U''(x_0) < 0$ → 非稳定平衡（微扰即远离）
$U''(x_0) = 0$ → 需更高阶判断

7.4 非保守力

\boxed{W_{\text{NC}}} = \Delta K + \Delta U = \Delta E_{\text{mech}}

摩擦力做负功：机械能减少（→ 热能）
非保守力做正功（如人推物体）：机械能增加

第八章：能量守恒

8.1 机械能守恒

当体系只有保守力做功时：

\boxed{\Delta K + \Delta U = 0}, \quad \boxed{K_1 + U_1 = K_2 + U_2}

\boxed{\frac{1}{2}mv_1^2 + U_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + U_2}

应用策略：

确定始末两个状态（位置+速度）
分别写出两状态的 $K$ 和 $U$ （ $K$ 只涉及速率， $U$ 只涉及位置）
令初态总机械能等于末态总机械能
不必分析中间的力和加速度过程！——这是能量法的最大优势

8.2 质点系的能量

\boxed{W_{\text{ext}} + W_{\text{int,NC}} = \Delta K + \Delta U}

$W_{\text{ext}}$ ：外力对系统做的功
$W_{\text{int,NC}}$ ：内部非保守力做的功
内部保守力做的功已纳入 $\Delta U$

8.3 质心 (Center of Mass)

\boxed{\vec{r}_{CM} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i} = \frac{1}{M}\sum m_i \vec{r}_i}

连续体的质心：

\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M}\int \vec{r}\,dm = \frac{1}{M}\int_V \vec{r}\rho(\vec{r})\,dV

对称性技巧： 对于具有对称性的均匀物体，质心在对称中心/对称轴上。

质心运动定理：

\boxed{\sum \vec{F}_{\text{ext}} = M\vec{a}_{CM}}

——质点系质心的运动等同于将所有质量集中于质心、所有外力作用于质心的单质点运动。

8.4 宇宙速度

【课件推导·理解层次】

第一宇宙速度（环绕速度）： 在地面附近绕地球匀速圆周运动所需的最小速度。

mg = m\frac{v_1^2}{R_E} \quad\Rightarrow\quad \boxed{v_1 = \sqrt{gR_E} \approx 7.9\text{ km/s}}

第二宇宙速度（逃逸速度）： 从地面出发脱离地球引力束缚所需的最小初速度。

由能量守恒（无穷远处 $K = U = 0$ ）：

\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_Em}{R_E} = 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{v_2 = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}} = \sqrt{2gR_E} \approx 11.2\text{ km/s}}

注意： $v_2 = \sqrt{2} \cdot v_1$

8.5 束缚态与非束缚态

总能量 $E = K + U$ ：

$E < 0$ → 束缚态（椭圆轨道）——总能量不足以脱离引力
$E = 0$ → 临界态（抛物线轨道）——恰好可以逃逸到无穷远（ $v = 0$ 在 $r \to \infty$ ）
$E > 0$ → 非束缚态（双曲线轨道）——在无穷远处仍有动能

史瓦西半径（黑洞）： $R_S = \dfrac{2GM}{c^2}$

8.6 双原子分子势能——平衡分析（课件重点）

双原子分子的势能通常用 Morse 势或 Lennard-Jones 势描述：

U(r) = \epsilon\left[\left(\frac{r_0}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\right]

$r = r_0$ ： $U'(r_0) = 0$ → 平衡位置（ $U''(r_0) > 0$ → 稳定平衡）
$r < r_0$ ：排斥力主导（ $F = -dU/dr > 0$ ，向外）
$r > r_0$ ：吸引力主导（ $F = -dU/dr < 0$ ，向内）

第九章：线动量与碰撞

9.1 动量与冲量

动量： $\vec{p} = m\vec{v}$

牛顿第二定律原形式： $\vec{F} = d\vec{p}/dt$

冲量： $\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t)\,dt$

\boxed{\vec{J} = \Delta\vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i} \quad \text{——冲量-动量定理}

平均力： $\bar{F} = J / \Delta t$

应用： 弯曲膝盖着地（增大 $\Delta t$ 、减小平均力）vs 直腿着地（ $\Delta t$ 极小、 $F_{\max}$ 极大 → 骨折）

9.2 动量守恒

当系统合外力为零时：

\boxed{\sum \vec{F}_{\text{ext}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \vec{p}_{\text{total}} = \text{constant}}

\boxed{m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + \dots = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2' + \dots}

注意： 内力再大也不影响总动量守恒。

分量守恒： 即使整体 $\sum \vec{F}_{\text{ext}} \neq 0$ ，某一方向的合外力分量为零时，该方向的动量分量守恒。

9.3 碰撞分类

碰撞类型	动能守恒？	恢复系数 $e$	碰撞后速度
完全弹性	是	$e = 1$	一般分开
非弹性	否	$0 < e < 1$	分开
完全非弹性	否（损失最大）	$e = 0$	粘在一起

恢复系数：

\boxed{e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2} = \frac{\text{分离速度}}{\text{接近速度}}}

9.4 一维弹性碰撞公式

【考点·必考】

质心系解法（最高效的方法）：

在质心系中，完全弹性碰撞后两球速度反向（大小不变）。

\boxed{v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_2}

\boxed{v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_2}

特殊情况：

$m_1 = m_2$ ： $v_1' = v_2$ ， $v_2' = v_1$ （交换速度！）
$m_1 \gg m_2$ ， $v_2 = 0$ ： $v_1' \approx v_1$ （大球几乎不停）， $v_2' \approx 2v_1$ （小球飞出）
$m_1 \ll m_2$ ， $v_2 = 0$ ： $v_1' \approx -v_1$ （小球反弹）， $v_2' \approx 0$ （大球不动）

9.5 二维碰撞

动量守恒给出两个分量方程（ $x$ 和 $y$ ）+ 动能方程（弹性碰撞）= 三个方程。通常已知一个出射角求其他量。

台球碰撞： 两相同质量的球碰撞，散射角之和 $\theta_1 + \theta_2 = 90°$ （弹性、非正面碰撞时）。

9.6 质心参考系

在质心系中的优势：

总动量恒为零： $\vec{p}_{\text{CM}} = 0$
弹性碰撞：每个质点的速度反向（大小不变）
完全非弹性碰撞：两质点都停在质心处（ $K_{\text{CM}} = 0$ ）

可用的动能（在质心系中）：

\boxed{K_{\text{avail}} = \frac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2}

其中 $\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ 为折合质量， $v_{\text{rel}} = |\vec{v}_1 - \vec{v}_2|$ 为相对速度。

9.7 连续体的质心计算

Pappus定理（课件重点补充）：

第一定理（表面积）： 一条平面曲线绕同平面内不与之相交的轴旋转一周，所得旋转面的面积 = 曲线弧长 × 质心在旋转中经过的路径长度。

S = L \cdot (2\pi x_{CM})

第二定理（体积）： 一个平面区域绕同平面内不与之相交的轴旋转一周，所得旋转体的体积 = 区域面积 × 质心在旋转中经过的路径长度。

\boxed{V = A \cdot (2\pi x_{CM})}

应用： 半圆旋转得球体。半圆质心距直径 $4R/(3\pi)$ ，面积 $\pi R^2/2$ ，得球体积 $V = \frac{\pi R^2}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{4R}{3\pi} = \frac{4}{3}\pi R^3$ ✓

常见均质物体的质心：

物体	质心位置
细棒（均匀）	中点
直角三角形（均匀）	距直角边 $a/3, b/3$
半圆盘	距直径 $4R/(3\pi)$
半球体	距底面 $3R/8$
半圆弧（线密度）	距直径 $2R/\pi$

9.8 变质量系统——火箭方程

【课件重点推导——齐奥科夫斯基方程】

设火箭以速度 $v$ 运动，以速率 $u$ （相对火箭）喷出质量 $dm$ （ $dm < 0$ ）：

动量守恒（ $dt$ 时间内）：

mv = (m + dm)(v + dv) + (-dm)(v - u)

简化（忽略二阶小量 $dm \cdot dv$ ）：

m\,dv = -u\,dm

积分（从 $m_i$ 到 $m_f$ ）：

\int_0^{v_f} dv = -u\int_{m_i}^{m_f} \frac{dm}{m}

\boxed{v_f - v_i = u\ln\frac{m_i}{m_f}} \quad \text{——Tsiolkovsky 火箭方程}

$m_i/m_f$ 越大，最终速度越大
要求多级火箭克服单级质量比极限

9.9 半圆弧上引力问题（课件例题）

均质半圆形细环（半径 $R$ 、线密度 $\lambda$ 、总质量 $m = \pi R\lambda$ ），在其圆心处放置质量为 $M$ 的质点。求引力。

由对称性， $x$ 分量（直径方向）的引力合力为零（左右对称抵消）。只需求 $y$ 分量：

dF_y = G\frac{M \cdot \lambda R d\theta}{R^2} \cdot \sin\theta

F_y = \frac{GM\lambda}{R}\int_0^\pi \sin\theta\,d\theta = \frac{2GM\lambda}{R}

代入 $\lambda = m/(\pi R)$ ：

\boxed{F = \frac{2GmM}{\pi R^2}}

第十章：定轴转动

10.1 角量与线量的类比

转动动力学与平移动力学的数学结构完全相同：

平移量	转动量	关系
$x$ （位移）	$\theta$ （角位移）	$s = R\theta$
$v$ （速度）	$\omega$ （角速度）	$v = R\omega$
$a$ （加速度）	$\alpha$ （角加速度）	$a_{\tan} = R\alpha$
$m$ （质量）	$I$ （转动惯量）	—
$F$ （力）	$\tau$ （力矩）	$\tau = RF\sin\theta$
$p$ （动量）	$L$ （角动量）	$L = I\omega$
$K = \frac{1}{2}mv^2$	$K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}I\omega^2$	—
$\sum F = ma$	$\sum \tau = I\alpha$	—

10.2 力矩 (Torque)

\boxed{\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}}

|\tau| = rF\sin\theta = rF_{\perp} = r_{\perp}F

其中 $r_{\perp} = r\sin\theta$ 为力臂（lever arm / moment arm）。

力矩的正负号： 逆时针为正、顺时针为负（右手定则：拇指方向为力矩矢量方向）。

合力矩： $\sum \tau = \sum r_i F_{i\perp}$

10.3 转动惯量 (Rotational Inertia / Moment of Inertia)

\boxed{I = \sum m_i R_i^2}

连续体：

\boxed{I = \int R^2\,dm = \int_V R^2 \rho\,dV}

常见均质物体的转动惯量（绕质心轴）：

物体	轴	$I$
细棒（长 $L$ ）	过中点 ⊥ 棒	$\frac{1}{12}ML^2$
细棒（长 $L$ ）	过端点 ⊥ 棒	$\frac{1}{3}ML^2$
圆环/薄圆筒（半径 $R$ ）	过圆心 ⊥ 面	$MR^2$
圆盘/圆柱（半径 $R$ ）	过圆心 ⊥ 面	$\frac{1}{2}MR^2$
球壳（半径 $R$ ）	过球心	$\frac{2}{3}MR^2$
实心球（半径 $R$ ）	过球心	$\frac{2}{5}MR^2$

10.4 平行轴定理 (Parallel-Axis Theorem)

【必考】

\boxed{I = I_{CM} + Md^2}

其中 $d$ 为新轴到质心轴的距离。

例：细棒绕端点： $I_{\text{end}} = I_{CM} + M(L/2)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2$ ✓

10.5 垂直轴定理 (Perpendicular-Axis Theorem)

【适用于平面薄板】

\boxed{I_z = I_x + I_y}

其中 $z$ 轴 ⊥ 板平面。要求：板必须有"可忽略的厚度"。

例：薄圆盘绕直径的 $I$ ： $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ ，由对称性 $I_x = I_y$ ，故 $I_{\text{diameter}} = I_x = \frac{1}{2}I_z = \frac{1}{4}MR^2$

10.6 定轴转动定理

\boxed{\sum \tau = I\alpha \quad = I\frac{d\omega}{dt} = I\frac{d^2\theta}{dt^2}}

推导： 对每个质点 $i$ ： $F_{i,\tan} = m_i a_{i,\tan} = m_i R_i \alpha$ ，乘 $R_i$ 并对 $i$ 求和：
$\sum \tau_i = (\sum m_i R_i^2)\alpha = I\alpha$ ✓

10.7 转动动能

\boxed{K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}I\omega^2}

推导： $K = \sum \frac{1}{2}m_iv_i^2 = \sum \frac{1}{2}m_i(R_i\omega)^2 = \frac{1}{2}(\sum m_iR_i^2)\omega^2 = \frac{1}{2}I\omega^2$ ✓

力矩做功：

W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\,d\theta

10.8 角动量

\boxed{\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})}

对于定轴转动的刚体： $L = I\omega$

角动量定理（转动版的 $\vec{F} = d\vec{p}/dt$ ）：

\boxed{\sum \vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}}

——力矩等于角动量的变化率。这是比 $\sum\tau = I\alpha$ 更基本的方程（适用于 $I$ 可变化的情况）。

10.9 角动量守恒

当合外力矩为零时：

\boxed{\sum \tau_{\text{ext}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \vec{L} = \text{constant}}

\boxed{I_1\omega_1 = I_2\omega_2}

花滑运动员收臂： $I$ 减小 → $\omega$ 增大 → 旋转加速。角动量守恒使然。

10.10 滚动运动 (Rolling Motion)

【重点模型·必考】

无滑滚动条件：

\boxed{v_{CM} = R\omega}

滚动动能：

K = \frac{1}{2}Mv_{CM}^2 + \frac{1}{2}I_{CM}\omega^2

代入 $v_{CM} = R\omega$ ：

\boxed{K = \frac{1}{2}Mv_{CM}^2\left(1 + \frac{I_{CM}}{MR^2}\right)}

斜面滚动加速度的推导：

物体沿斜面滚落（倾角 $\theta$ ），受力分析：

平动： $Mg\sin\theta - f = Ma_{CM}$
转动： $fR = I_{CM}\alpha$
无滑条件： $a_{CM} = R\alpha$

联立消去 $f$ ：

\boxed{a_{CM} = \frac{g\sin\theta}{1 + \dfrac{I_{CM}}{MR^2}}}

常见情况的对比：

物体	$I_{CM}$	$a_{CM}$	摩擦力 $f$
实心球	$\frac{2}{5}MR^2$	$\frac{5}{7}g\sin\theta$	$\frac{2}{7}Mg\sin\theta$
圆柱/圆盘	$\frac{1}{2}MR^2$	$\frac{2}{3}g\sin\theta$	$\frac{1}{3}Mg\sin\theta$
圆环/薄筒	$MR^2$	$\frac{1}{2}g\sin\theta$	$\frac{1}{2}Mg\sin\theta$
无摩擦滑动	—	$g\sin\theta$	0

→ 转动惯量越大的物体，滚得越慢！实心球最快、圆环最慢。

纯滚动的静摩擦力： 不消耗机械能——接触点瞬时速度为零，静摩擦力不做功。但静摩擦力提供转动力矩加速转动。

10.11 经典问题

【子弹穿棒问题】（课件重点）：

长为 $L$ 、质量为 $M$ 的均匀细棒，可绕一端自由转动。质量为 $m$ 的子弹以速度 $v$ 射入棒的另一端并嵌入。

注意： 此种情况下线动量不守恒（悬点有力的作用），但角动量守恒（外力通过转轴，力矩为零）。

mvL = I_{\text{total}}\omega = \left(\frac{1}{3}ML^2 + mL^2\right)\omega

\boxed{\omega = \frac{mvL}{\frac{1}{3}ML^2 + mL^2}}

【旋转平台上的人走/停问题】：

人从旋转平台中心走到边缘（或停下）——角动量守恒： $I_i\omega_i = I_f\omega_f$

第十一章：一般转动

11.1 力矩的矢量形式

\boxed{\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}}

分量计算：

\tau_x = yF_z - zF_y, \quad \tau_y = zF_x - xF_z, \quad \tau_z = xF_y - yF_x

11.2 角动量的一般形式

\boxed{\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})}

关键：角动量的值依赖于参考点的选择！

角动量定理（最一般形式）：

\boxed{\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{L}}{dt}}

11.3 开普勒第二定律的角动量证明

开普勒第二定律： 行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

证明： 万有引力是有心力（方向始终指向太阳），对太阳的力矩恒为零：

\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}_g = 0

因此对太阳的角动量守恒： $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = \text{constant}$

面积速度（单位时间扫过的面积）：

\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}|\vec{r} \times \vec{v}| = \frac{L}{2m} = \text{constant}

因此等时间扫等面积。✓ 开普勒第二定律本质上是角动量守恒！

【螺旋线问题】（课件经典例题）：

质量为 $m$ 的质点在有心力作用下沿螺旋线 $r = r_0 e^{-k\theta}$ 运动。初始 $r = r_0$ ，角速度 $\omega_0$ 。问：当 $r = r_0/2$ 时角速度为多少？

解：有心力 $\vec{\tau} = 0$ → 角动量守恒：

L = mr_0^2\omega_0 = m(r_0/2)^2\omega \quad\Rightarrow\quad \boxed{\omega = 4\omega_0}

角速度翻四倍！

11.4 质心系中的角动量

总角动量可分解为质心运动和相对于质心的运动：

\boxed{\vec{L}_{\text{total}} = \vec{r}_{CM} \times M\vec{v}_{CM} + \vec{L}_{\text{CM}}}

第一项：质心相对于固定点的角动量（“轨道角动量”）
第二项：相对于质心的角动量（“自旋角动量”）

质心系中的转动定理：

\boxed{\sum \vec{\tau}_{CM} = \frac{d\vec{L}_{CM}}{dt}}

11.5 一般平动+转动动能

\boxed{K = \frac{1}{2}Mv_{CM}^2 + \frac{1}{2}I_{CM}\omega^2}

推导：

\begin{aligned} K &= \sum \frac{1}{2}m_i(\vec{v}_{CM} + \vec{v}_i')^2 \\ &= \frac{1}{2}Mv_{CM}^2 + \vec{v}_{CM} \cdot \sum m_i\vec{v}_i' + \frac{1}{2}\sum m_i v_i'^2 \end{aligned}

中间项 $\sum m_i\vec{v}_i' = 0$ （质心系总动量为零），第三项 $= \frac{1}{2}I_{CM}\omega^2$ 。

11.6 陀螺进动 (Gyroscope Precession)

自转的陀螺在重力矩作用下绕竖直轴进动：

平衡条件： $\tau = Mgd\sin\phi = L\omega_p\sin\phi$

\boxed{\omega_p = \frac{Mgd}{L} = \frac{Mgd}{I\omega_s}}

$\omega_p$ ：进动角速度（绕竖直轴）
$\omega_s$ ：自转角速度
$d$ ：支点到质心的距离

第十二章：振动

12.1 简谐振动 (Simple Harmonic Motion — SHM)

动力学定义： 回复力与位移成正比且方向相反

F = -kx \quad\Rightarrow\quad ma = -kx \quad\Rightarrow\quad \boxed{\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0}

其中 $\omega = \sqrt{k/m}$ 为角频率。

运动学解：

\boxed{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)}

其中 $A$ 为振幅， $\varphi_0$ 为初相位。

速度与加速度：

v(t) = \frac{dx}{dt} = -\omega A\sin(\omega t + \varphi_0) = \omega A\cos(\omega t + \varphi_0 + \pi/2)

a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x

——速度超前位移 $\pi/2$ ，加速度与位移反相（相差 $\pi$ ）。

由初始条件确定 $A$ 和 $\varphi_0$ （课件重点推导）：

已知 $x(0) = x_0$ ， $v(0) = v_0$ ：

\begin{cases} x_0 = A\cos\varphi_0 \\ v_0 = -\omega A\sin\varphi_0 \end{cases}

解得：

\boxed{A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}}, \quad \boxed{\tan\varphi_0 = -\frac{v_0}{\omega x_0}}

例： $\omega = 5\text{ rad/s}$ ， $x_0 = 1\text{ m}$ ， $v_0 = -5\text{ m/s}$
$A = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\text{ m}$ ， $\tan\varphi_0 = -\frac{-5}{5} = 1 \Rightarrow \varphi_0 = \pi/4$
$x(t) = \sqrt{2}\cos(5t + \pi/4)$

12.2 简谐振动的能量

K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2(\omega t + \varphi_0)

U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi_0) = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cos^2(\omega t + \varphi_0)

\boxed{E = K + U = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \text{constant}}

——总能量正比于振幅平方 $A^2$ 。

12.3 势能法与简谐振动的导出

【课件重点——将任意势能展开判断简谐振动】

任意势能 $U(x)$ 在平衡位置 $x_0$ 处 Taylor 展开：

U(x) = U(x_0) + U'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}U''(x_0)(x-x_0)^2 + \dots

平衡条件： $U'(x_0) = 0$ 。忽略高阶项：

\boxed{U(x) \approx U(x_0) + \frac{1}{2}U''(x_0)(x-x_0)^2 = U(x_0) + \frac{1}{2}k_{\text{eff}}(x-x_0)^2}

其中 $k_{\text{eff}} = U''(x_0)$ 。因此任何势能极小值附近的微振动都是简谐振动！

F = -\frac{dU}{dx} = -U''(x_0)(x-x_0) = -k_{\text{eff}}(x-x_0)

\boxed{\omega = \sqrt{\frac{k_{\text{eff}}}{m}} = \sqrt{\frac{U''(x_0)}{m}}}

单摆的势能推导：

U(\theta) = mgL(1 - \cos\theta) \approx mgL \cdot \frac{\theta^2}{2}

$k_{\text{eff}} = U''(0) = mgL$ ， $I = mL^2$ （等效质量），

\boxed{\omega = \sqrt{\frac{mgL}{mL^2}} = \sqrt{\frac{g}{L}}}, \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

12.4 物理摆 (Physical Pendulum)

\boxed{\omega = \sqrt{\frac{Mgd}{I}}}, \quad \boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgd}}}

其中 $I$ 是绕转轴的转动惯量， $d$ 是转轴到质心的距离。

12.5 简谐振动的旋转矢量法

将 SHM 映射到匀速圆周运动在 $x$ 轴（或 $y$ 轴）的投影：

圆周半径 = $A$ （振幅）
角速度 = $\omega$ （角频率）
初始角度 = $\varphi_0$ （初相位）
投影 $x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$

相位差的意义：

$\Delta\varphi = 0$ ：同相——同步振动，同时最大
$\Delta\varphi = \pi$ ：反相——方向始终相反
$\Delta\varphi = \pi/2$ ：正交——一个在最大位移时另一个在平衡位置

12.6 简谐振动的叠加

同频率叠加：

x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1), \quad x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)

x = x_1 + x_2 = A\cos(\omega t + \varphi)

其中：

\boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}}

\boxed{\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}}

$\varphi_2 - \varphi_1 = 0$ （同相）→ $A = A_1 + A_2$ （增强）
$\varphi_2 - \varphi_1 = \pi$ （反相）→ $A = |A_1 - A_2|$ （减弱）
$\varphi_2 - \varphi_1 = \pi/2$ → $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$

不同频率——拍现象 (Beats)：

x = 2A\cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)

\boxed{f_{\text{beat}} = |f_1 - f_2|}

12.7 阻尼振动 (Damped Harmonic Motion)

\boxed{m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0}

\boxed{\frac{d^2x}{dt^2} + 2\beta\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0}

其中 $\beta = b/(2m)$ （阻尼系数）， $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ （固有角频率）。

分类（课件重点）：

情况	条件	解的形式	运动特征
欠阻尼	$\beta < \omega_0$	$x = A_0 e^{-\beta t}\cos(\omega't + \varphi)$	衰减振荡
临界阻尼	$\beta = \omega_0$	$x = (C_1 + C_2 t)e^{-\beta t}$	最快回到平衡，不振荡
过阻尼	$\beta > \omega_0$	$x = C_1e^{-r_1t} + C_2e^{-r_2t}$	无振荡，缓慢衰减

欠阻尼角频率： $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$

对数衰减率： $\delta = \ln\dfrac{A_n}{A_{n+1}} = \beta T'$

12.8 受迫振动与共振 (Forced Oscillation & Resonance)

\boxed{m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos\omega t}

稳态解振幅：

\boxed{A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}}}

共振角频率： 令 $dA/d\omega = 0$ 得

\boxed{\omega_{\text{res}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}}

当 $\beta \ll \omega_0$ （弱阻尼）， $\omega_{\text{res}} \approx \omega_0$ ，共振振幅 $A_{\max} \approx \dfrac{F_0}{2m\beta\omega_0}$

共振曲线的锐度（品质因数）：

\boxed{Q = \frac{\omega_0}{2\beta} = \frac{\omega_0}{\Delta\omega}}

$Q$ 越大，共振峰越尖锐。核磁共振利用极高的 $Q$ 值来选择性激发特定频率。

第十三章：波动

13.1 波的基本概念

机械波的形成条件： 波源 + 弹性介质

概念	定义
波长 $\lambda$	一个完整周期内波传播的距离
周期 $T$	介质中一个质点完成一次全振动所需的时间
频率 $f = 1/T$	单位时间内的振动次数
波速 $v$	振动状态（相位）的传播速度

\boxed{v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}}

横波： 质点振动方向 ⊥ 波传播方向（如弦上的波、电磁波）
纵波： 质点振动方向 ∥ 波传播方向（如声波）

13.2 波的数学描述

沿 $+x$ 方向传播的简谐波：

\boxed{y(x, t) = A\cos(kx - \omega t + \varphi_0)}

其中波数 $\boxed{k = \dfrac{2\pi}{\lambda}}$ ，角频率 $\boxed{\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}}$

波速： $\boxed{v = \dfrac{\omega}{k} = \lambda f}$

波的周期性：

空间周期性： $y(x + \lambda, t) = y(x, t)$ （固定 $t$ ， $y$ 是 $x$ 的周期函数）
时间周期性： $y(x, t + T) = y(x, t)$ （固定 $x$ ， $y$ 是 $t$ 的周期函数）

13.3 波动方程的推导

【课件核心推导——弦上横波的波动方程】

考虑一根张紧的弦（张力 $F_T$ ，线密度 $\mu$ ），要求横向位移 $y(x, t)$ 为小量。

对微元 $dx$ 做受力分析，竖直方向合外力：

F_T\sin\theta_2 - F_T\sin\theta_1 \approx F_T\frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x+dx} - F_T\frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x}

由牛顿第二定律： $F_T \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx = \mu dx \cdot \dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}$

\boxed{\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}}, \quad \boxed{v = \sqrt{\frac{F_T}{\mu}}}

不同介质中的波速：

波的类型	波速公式
弦上的横波	$v = \sqrt{F_T/\mu}$
固体棒中的纵波	$v = \sqrt{E/\rho}$ （ $E$ 为杨氏模量）
液体/气体中的纵波	$v = \sqrt{B/\rho}$ （ $B$ 为体变模量）

13.4 波的能量与强度

微元 $dx$ 的动能 + 弹性势能：

dK = \frac{1}{2}\mu dx\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2, \quad dU = \frac{1}{2}F_T dx\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2

总能量密度（单位长度能量）：

dE = \mu dx \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 = \mu A^2\omega^2\sin^2(kx - \omega t)\,dx

平均功率（即波传播的功率）：

\boxed{P = \frac{1}{2}\mu v\omega^2 A^2}

波强（单位面积通过的平均功率）：

\boxed{I = \frac{P}{S} = \frac{1}{2}\rho v\omega^2 A^2}

球面波的振幅衰减： $A \propto 1/r$ （能量守恒： $I \cdot 4\pi r^2 = \text{constant}$ ）

13.5 波的叠加与干涉

叠加原理： 两个波在相遇点的合成位移等于各波单独引起位移的矢量和。

相干条件：

相同频率
相同振动方向
恒定相位差

两相干波源 $S_1, S_2$ 在点 $P$ 的合成：

y_1 = A_1\cos(kr_1 - \omega t + \varphi_1), \quad y_2 = A_2\cos(kr_2 - \omega t + \varphi_2)

相位差： $\Delta\varphi = k(r_2 - r_1) + (\varphi_1 - \varphi_2) = \dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta r + \Delta\varphi_0$

干涉条件（ $A_1 = A_2$ 时）：

\boxed{\text{加强：} \Delta\varphi = 2m\pi \;(m = 0, \pm1, \pm2, \dots)}

\boxed{\text{减弱：} \Delta\varphi = (2m+1)\pi \;(m = 0, \pm1, \pm2, \dots)}

用波程差 $\delta = r_2 - r_1$ 表示（当 $\varphi_1 = \varphi_2$ 时）：

\boxed{\text{加强：} \delta = m\lambda \;(m = 0, \pm1, \pm2, \dots)}

\boxed{\text{减弱：} \delta = (2m+1)\frac{\lambda}{2} \;(m = 0, \pm1, \pm2, \dots)}

13.6 驻波 (Standing Waves)

两列振幅相等、传播方向相反的相干波叠加：

y_1 = A\cos(kx - \omega t), \quad y_2 = A\cos(kx + \omega t)

\begin{aligned} y &= y_1 + y_2 = A[\cos(kx - \omega t) + \cos(kx + \omega t)] \\ &= \boxed{2A\cos(kx)\cos(\omega t)} \end{aligned}

——驻波方程！空间与时间完全分离。

特征分析：

波腹 (Antinode)： 满足 $\cos(kx) = \pm 1$ $cos (k x) = \pm 1$ ，即 $kx = n\pi$ $k x = nπ$ ， $\boxed{x_n = n\dfrac{\lambda}{2}}$ $x_{n} = n \frac{λ}{2}$
- 振幅最大： $2A$
波节 (Node)： 满足 $\cos(kx) = 0$ $cos (k x) = 0$ ，即 $kx = (2n+1)\pi/2$ $k x = (2 n + 1) π /2$ ， $\boxed{x_n = (2n+1)\dfrac{\lambda}{4}}$ $x_{n} = (2 n + 1) \frac{λ}{4}$
- 振幅为零：始终静止

相邻波节间距 = 相邻波腹间距 = $\boxed{\lambda/2}$

驻波的能量： 与行波不同，能量不沿 $x$ 方向传播——能量在相邻波节和波腹之间局域振荡。

13.7 反射与半波损失

固定端反射：

反射波发生 $\pi$ 相位突变（半波损失）
在固定端形成波节

自由端反射：

无相位突变
在自由端形成波腹

半波损失条件（要点）： 波从波疏介质正入射到波密介质界面时，反射波有半波损失。

介质的"波阻"用特征阻抗 $Z = \rho v$ 表征：

$Z_1 < Z_2$ （从疏到密）→ 反射有半波损失
$Z_1 > Z_2$ （从密到疏）→ 反射无半波损失

13.8 弦上驻波的边界条件

两端固定（Dirichlet边界条件）： $y(0, t) = 0$ ， $y(L, t) = 0$

\boxed{\lambda_n = \frac{2L}{n} \;(n = 1, 2, 3, \dots)}, \quad \boxed{f_n = n\frac{v}{2L} = n f_1}

基频 $f_1 = v/(2L)$ ，泛音 $f_2 = 2f_1$ （八度）， $f_3 = 3f_1$ （八度+五度），…

一端固定、一端自由（Dirichlet+Neumann）：

\boxed{\lambda_n = \frac{4L}{2n-1} \;(n = 1, 2, 3, \dots)}, \quad \boxed{f_n = \frac{(2n-1)v}{4L}}

只有奇数倍频！

两端自由（Neumann边界条件）：

\boxed{\lambda_n = \frac{2L}{n} \;(n = 1, 2, 3, \dots)}, \quad \boxed{f_n = n\frac{v}{2L}}

13.9 折射与衍射（概述）

折射： 波从一种介质进入另一种介质时，波速改变导致传播方向改变。

\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}

衍射： 波遇到障碍物时绕到其后的现象。显著衍射条件：障碍物尺寸 $\sim \lambda$ 。

第三十章：波动光学——干涉

30.1 惠更斯原理 (Huygens’ Principle)

波前上的每一点都可以看作一个发出球面子波的新波源。下一时刻的波前是所有这些子波的包络面。

应用： 解释反射、折射、衍射的波前传播规律。

30.2 杨氏双缝干涉

【核心实验·必考】

实验装置： 单色光通过双缝（间距 $d$ ）照射在远处屏幕（距离 $D \gg d$ ）上。

光程差： $\delta = d\sin\theta \approx d \cdot \dfrac{y}{D}$

亮纹条件：

\boxed{d\sin\theta = m\lambda \;(m = 0, \pm1, \pm2, \dots)}

亮纹位置： $\boxed{y_m = m\dfrac{\lambda D}{d}}$

暗纹条件：

\boxed{d\sin\theta = (m + \tfrac{1}{2})\lambda \;(m = 0, \pm1, \pm2, \dots)}

暗纹位置： $\boxed{y_m = (m + \frac{1}{2})\dfrac{\lambda D}{d}}$

条纹间距：

\boxed{\Delta y = \frac{\lambda D}{d}}

——等间距条纹。

条纹可见度：

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}

30.3 光程与光程差

光在介质中传播时，频率不变但波长改变：

\lambda_n = \frac{\lambda}{n} \quad (n \text{ 为折射率})

光程 (Optical Path)： 几何路程 × 折射率

\boxed{\text{光程} = \sum n_i \ell_i}

光程差与相位差的关系：

\boxed{\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta}

其中 $\delta$ 是光程差（不是几何路程差）。

30.4 薄膜干涉

【核心模型·重点中的重点】

基本光程差（空气 → 薄膜 → 空气）：

反射光 1（上表面反射）+ 反射光 2（下表面反射）：

\delta = 2n_{\text{film}} d\cos\theta_t

其中 $d$ 为薄膜厚度， $\theta_t$ 为折射角。

半波损失判定表（关键！）：

界面	条件	反射光相位变化
$n_1 < n_2$	从光疏到光密	$\pi$ 相变（半波损失）
$n_1 > n_2$	从光密到光疏	无相变
透射光	任何情况	无相变

总光程差 = 几何光程差 + 半波损失贡献：

\boxed{\delta = 2n_{\text{film}} d\cos\theta_t + \varepsilon\frac{\lambda}{2}}

其中 $\varepsilon = 0$ 或 $\pm1$ （取决于两个反射面的半波损失情况）。

干涉条件（反射光）：

\boxed{\delta = 2nd\cos\theta_t + \varepsilon\frac{\lambda}{2} = \begin{cases} m\lambda & \text{亮（加强）——课件考试用反射光为亮纹计} \\ (2m+1)\frac{\lambda}{2} & \text{暗（减弱）} \end{cases}}

近垂直入射（ $\cos\theta_t \approx 1$ ）：

\boxed{\delta = 2nd + \varepsilon\frac{\lambda}{2}}

等倾干涉 vs 等厚干涉：

类型	$d$ 恒定	$\theta$ 恒定	条纹特征
等倾干涉	薄膜厚度均匀	入射角变化	同心圆环（ $d$ 均匀）
等厚干涉	薄膜厚度变化	近垂直入射	条纹反映 $d(x,y)$

30.5 等厚干涉应用

劈尖薄膜（楔形）：

空气劈尖（两玻璃板间夹一薄空气层，一端接触）：

\delta = 2d + \frac{\lambda}{2} \quad (\text{下表面反射有半波损失})

暗纹条件（ $m = 0$ 接触点暗纹）： $\delta = (2m+1)\dfrac{\lambda}{2} \Rightarrow d_m = m\dfrac{\lambda}{2}$

相邻暗纹间距： $\boxed{\Delta\ell = \dfrac{\lambda}{2\sin\theta} \approx \dfrac{\lambda}{2\theta}}$

应用： 检测工件平整度——条纹弯曲方向揭示了工件凸起或凹陷。

牛顿环：

平凸透镜（曲率半径 $R$ ）置于平板玻璃上，形成环形空气薄膜：

空气膜厚度： $d \approx \dfrac{r^2}{2R}$

光程差（反射光）： $\delta = 2d + \dfrac{\lambda}{2} = \dfrac{r^2}{R} + \dfrac{\lambda}{2}$

暗环（空气膜反射光）： $\dfrac{r_m^2}{R} = m\lambda$

\boxed{r_m = \sqrt{mR\lambda} \;(m = 0, 1, 2, \dots)}

亮环（反射光）： $\dfrac{r_m^2}{R} + \dfrac{\lambda}{2} = m\lambda$

\boxed{r_m = \sqrt{(m - \tfrac{1}{2})R\lambda} \;(m = 1, 2, 3, \dots)}

注意：中心 $r = 0$ → $\delta = \lambda/2$ → 反射光中心为暗斑。

30.6 增透膜与增反膜

增透膜（减少反射）：

在玻璃（ $n = 1.5$ ）表面镀一层低折射率材料（如 MgF₂， $n = 1.38$ ）。

设计要求：反射光干涉相消。

光在 $n_1 < n_2 < n_3$ 条件下，两反射面均有半波损失 → 半波损失相互抵消（ $\varepsilon = 0$ ）。

\delta = 2n_{\text{film}}d = (2m+1)\frac{\lambda}{2}

d = \frac{\lambda}{4n_{\text{film}}} \quad (m = 0 \text{ 时取最小厚度})

对 $\lambda = 550\text{ nm}$ （绿光，可见光中心）： $d = 550/(4\times 1.38) \approx 100\text{ nm}$

增反膜（增加反射）：

镀高折射率材料（ $n > n_{\text{substrate}}$ ），使反射光干涉加强。

30.7 迈克尔逊干涉仪 (Michelson Interferometer)

原理： 分振幅干涉。入射光被半透半反镜分为两束，分别经两反射镜反射后重新合成干涉。

光程差 $\delta = 2(d_1 - d_2)$ （往返两倍）

移动 $M_1$ 距离 $\Delta d$ 引起条纹移动数 $N$ ：

\boxed{\Delta d = N\frac{\lambda}{2}}

每移动 $\lambda/2$ ，条纹移动一条。

历史意义： 迈克尔逊-莫雷实验否定了"以太"假说，成为狭义相对论的实验基础。

30.8 相干长度 (Coherence Length)

非单色光源的相干长度：

\ell_{\text{coh}} \approx \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

在薄膜干涉中，只有当 $2nd < \ell_{\text{coh}}$ 时才能观察到清晰的干涉条纹——这也是为什么很厚的薄膜（如窗玻璃）不显示干涉色彩。

第三十一章：衍射与偏振

31.1 惠更斯-菲涅耳原理

波前上的每一点都是发出球面子波的次级波源。空间某点的光振动是所有子波在该点相干叠加的结果。

——将惠更斯的几何作图与杨氏干涉的相干叠加统一起来。

31.2 单缝夫琅禾费衍射

半波带法（课件核心方法）：

将缝宽 $a$ 分为 $m$ 个"半波带"——每个半波带宽度满足相邻两带发出的光到 $P$ 点的光程差为 $\lambda/2$ （相互抵消）。

暗纹条件： 缝恰好可被分为偶数个半波带

\boxed{a\sin\theta = m\lambda \;(m = \pm1, \pm2, \pm3, \dots)}

亮纹条件（近似——奇数个半波带）：

a\sin\theta \approx (m + \tfrac{1}{2})\lambda \;(m = \pm1, \pm2, \dots)

注意： $m = 0$ 时 $\sin\theta = 0$ → 中央明纹（零级极大）。

中央明纹角宽度：

\boxed{\Delta\theta_0 = \frac{2\lambda}{a}}

中央明纹线宽度（屏幕距缝 $D$ ）： $\boxed{\Delta y_0 = \dfrac{2\lambda D}{a}}$

31.3 单缝衍射的强度分布

相位差分析（相邻缝元间）：

\beta = \frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta

单缝衍射强度公式：

\boxed{I = I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2}

极小值： $\sin\beta = 0$ ， $\beta \neq 0$ → $\beta = m\pi$ → $a\sin\theta = m\lambda$ ✓（与半波带法一致）

中央极大： $\beta \to 0$ 时 $\frac{\sin\beta}{\beta} \to 1$ ，故 $I_{\text{center}} = I_0$

次极大位置： 令 $dI/d\beta = 0$ 得超越方程 $\tan\beta = \beta$ 。近似解： $\beta \approx (m + \frac{1}{2})\pi$ 附近。

31.4 圆孔衍射与瑞利判据

圆孔夫琅禾费衍射——爱里斑 (Airy Disk)：

第一个暗环角半径：

\boxed{\theta = 1.22\frac{\lambda}{D}}

其中 $D$ 为圆孔直径。

瑞利判据 (Rayleigh Criterion)：

两非相干点源恰好能被分辨的条件——一个的爱里斑中心恰好落在另一个的第一暗环上。

\boxed{\theta_R = 1.22\frac{\lambda}{D}}

\boxed{\text{分辨本领} = \frac{1}{\theta_R} \propto \frac{D}{\lambda}}

应用：

望远镜口径越大（ $D$ 大），分辨本领越高
电子显微镜使用极短波长（电子 de Broglie 波 $\lambda \sim 0.004\text{ nm}$ ），分辨本领远超光学显微镜

31.5 衍射光栅 (Diffraction Grating)

多缝干涉 + 单缝衍射的联合效果。

$N$ 条等间距的平行狭缝（光栅常数 $d$ ）。

主极大位置（光栅方程）：

相邻缝光程差： $d\sin\theta$

\boxed{d\sin\theta = m\lambda \;(m = 0, \pm1, \pm2, \dots) \quad \text{——光栅方程}}

$m$ 为主极大级数。

$N$ 缝干涉强度（不考虑单缝衍射调制）：

相邻缝间相位差： $\delta = \dfrac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta$

\boxed{I = I_1\left(\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}\right)^2}

主极大： 当 $\delta/2 = m\pi$ （即 $d\sin\theta = m\lambda$ ）：

\lim_{\delta/2 \to m\pi} I = N^2I_1

—— $N$ 条缝的主极大强度是单缝的 $N^2$ 倍！

极小值： $\sin(N\delta/2) = 0$ 但 $\sin(\delta/2) \neq 0$

\delta = \frac{2m'}{N}\pi \;(m' \neq 0, \pm N, \pm 2N, \dots)

——相邻主极大之间有 $N-1$ 个极小（暗纹）， $N-2$ 个次极大。

31.6 光栅光谱——衍射调制

完整的光栅强度（单缝衍射 × 多缝干涉）：

\boxed{I = I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 \cdot \left(\frac{\sin N\gamma}{\sin\gamma}\right)^2}

其中 $\beta = \dfrac{\pi a}{\lambda}\sin\theta$ （单缝）， $\gamma = \dfrac{\pi d}{\lambda}\sin\theta$ （相邻缝）。

缺级现象（Missing Orders）：

当主极大方向恰好与单缝衍射极小方向重合时，该级主极大消失：

\begin{cases} d\sin\theta = m\lambda & \text{（光栅主极大）} \\ a\sin\theta = m'\lambda & \text{（单缝暗纹）} \end{cases}

缺级条件：

\boxed{\frac{d}{a} = \frac{m}{m'} = \text{有理数}}

即 $d/a$ 为有理数时，所有满足 $m = (d/a) \cdot m'$ 的整数 $m$ 对应的主极大缺失。

例： $d = 3a$ ，则 $m = 3m'$ → $m = \pm3, \pm6, \pm9, \dots$ 级缺级。

光栅的色散： $\dfrac{d\theta}{d\lambda} = \dfrac{m}{d\cos\theta}$

光栅的分辨本领： $\boxed{R = \dfrac{\lambda}{\Delta\lambda} = mN}$

——级数越高、总缝数越多，分辨本领越好。

31.7 X 射线衍射

晶格作为三维光栅。Bragg 条件（反射加强）：

\boxed{2d\cos\phi = m\lambda \;(m = 1, 2, 3, \dots)}

其中 $d$ 为晶面间距， $\phi$ 为X射线与晶面的夹角（掠射角）。

注意：Bragg 公式有多种等价形式。常见形式 $2d\sin\theta = m\lambda$ ，此时 $\theta$ 为掠射角（从晶面算起）。

31.8 光的偏振

偏振类型：

偏振类型	描述
自然光（非偏振光）	电矢量在垂直传播方向的平面内随机分布——各方向等概率
线偏振光	电矢量沿某一固定方向振动
部分偏振光	介于两者之间——某个方向的振动占优势

获得线偏振光的方法：

偏振片（二向色性）
反射（Brewster 角）
双折射（方解石晶体）
散射

31.9 马吕斯定律 (Malus’ Law)

线偏振光通过偏振片后：

\boxed{I = I_0\cos^2\alpha}

其中 $\alpha$ 为入射偏振方向与偏振片透振轴之间的夹角。

$\alpha = 0$ ： $I = I_0$ （完全透过）
$\alpha = 45°$ ： $I = I_0/2$
$\alpha = 90°$ ： $I = 0$ （完全消光）

自然光通过偏振片： 各方向平均 → 强度减半： $I = I_0/2$

偏振片作为检偏器：

旋转检偏器，透射光强变化： $I_{\max} \to I_{\min} \to I_{\max}$ （周期 $\pi$ ）
消光比： $\text{Extinction Ratio} = I_{\min}/I_{\max}$ $Extinction Ratio = I_{m i n} / I_{m a x}$
- $= 0$ → 完全线偏振光
- $> 0$ → 部分偏振光（ $I_{\min} \neq 0$ ）
- $= 1$ → 自然光（ $I_{\min} = I_{\max}$ = 常数）

31.10 布儒斯特定律 (Brewster’s Law)

自然光以起偏角 $\theta_P$ 入射时，反射光成为完全线偏振光（电矢量垂直于入射面，即平行于反射面）。

\boxed{\tan\theta_P = \frac{n_2}{n_1}}

推导： 当反射光与折射光垂直（ $\theta_P + \theta_t = 90°$ ）时，由斯涅尔定律：

n_1\sin\theta_P = n_2\sin\theta_t = n_2\sin(90° - \theta_P) = n_2\cos\theta_P

\Rightarrow \tan\theta_P = n_2/n_1

布儒斯特角的应用：

产生线偏振光（反射法）
激光的 Brewster 窗（使 p-偏振光无反射损耗）
摄影的偏振滤镜（消除水面/玻璃反光）

31.11 双折射 (Birefringence)

某些各向异性晶体（如方解石 CaCO₃）将入射光分为 o 光（寻常光，遵守折射定律）和 e 光（非常光，不遵守折射定律）。二者都是线偏振光，偏振方向互相垂直。

31.12 波片 (Wave Plates)

利用双折射晶体的相位延迟效应改变偏振态：

波片	相位差 $\Delta\varphi$	光程差	作用
半波片 ( $\lambda/2$ )	$\pi$	$\lambda/2$	旋转线偏振方向
四分之一波片 ( $\lambda/4$ )	$\pi/2$	$\lambda/4$	线偏振 → 椭圆（或圆）偏振

附录 A：2024-2025-2 期末考试分析

试卷结构（9页，满分100分）：

题型分布

题型	数量	分值	内容
选择题	~10 题	~20 分	概念理解、简单计算
计算/证明题	~5-6 题	~80 分	完整解题过程

大题考点（按章节）

题号	章节	考点	题型模型
Q1	Ch4/5	约束系统动力学（滑轮+摩擦）	隔离体受力图 + 牛顿第二定律
Q2	Ch4/5	半圆形围栏+摩擦	圆周动力学 + 能量法
Q3	Ch7/8	保守力判据 + 势能	$\partial F_x/\partial y = \partial F_y/\partial x$
Q4	Ch10	定轴转动（刚体碰撞）	角动量守恒
Q5	Ch12/13	简谐振动 + 波动	振动方程 + 波函数
Q6	Ch30/31	薄膜干涉/衍射光栅	光程差 + 缺级分析

考试策略

选择题： 概念辨析（保守力条件、半波损失、纯滚动条件、偏振态判断）
大题： 每题对应一个核心模型，注重推导过程（不只是一个公式）
时间分配： 120分钟/100分 → ~1.2分钟/分。选择题 ~25分钟，大题 ~95分钟

附录 B：核心公式速查表

力学

公式	适用范围
$v = v_0 + at$	匀加速
$x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$	匀加速
$v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)$	匀加速
$R = \dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta)$	抛体运动
$a_{\text{rad}} = v^2/R = R\omega^2$	圆周运动
$\sum\vec{F} = m\vec{a}$	牛顿第二定律
$f_k = \mu_k F_N$	动摩擦
$f_s \leq \mu_s F_N$	静摩擦
$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$	功
$K = \frac{1}{2}mv^2$	动能
$W_{\text{net}} = \Delta K$	功-能原理
$U_{\text{spring}} = \frac{1}{2}kx^2$	弹性势能
$U_g = mgy$	重力势能（均匀场）
$U_g = -GMm/r$	万有引力势能
$\vec{F} = -\nabla U$	保守力
$K + U = \text{constant}$	机械能守恒
$\vec{p} = m\vec{v}$	动量
$\vec{J} = \Delta\vec{p}$	冲量定理
$\sum m_i\vec{v}_i = \text{constant}$	动量守恒
$v_f - v_i = u\ln(m_i/m_f)$	火箭方程

转动

公式	适用范围
$\tau = rF\sin\theta$	力矩
$I = \sum m_i R_i^2$	转动惯量
$I = I_{CM} + Md^2$	平行轴定理
$\sum\tau = I\alpha$	定轴转动定理
$L = I\omega$	角动量（刚体）
$\sum\tau = dL/dt$	角动量定理
$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$	角动量守恒
$K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}I\omega^2$	转动动能
$v_{CM} = R\omega$	无滑滚动条件
$K = \frac{1}{2}Mv_{CM}^2 + \frac{1}{2}I_{CM}\omega^2$	滚动动能

振动与波

公式	适用范围
$\ddot{x} + \omega^2 x = 0$	SHM
$x = A\cos(\omega t + \varphi)$	SHM 解
$\omega = \sqrt{k/m}$	弹簧振子角频率
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$	单摆周期
$E = \frac{1}{2}kA^2$	SHM 能量
$v = \lambda f = \omega/k$	波
$y = A\cos(kx - \omega t)$	行波
$y = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)$	驻波
$\lambda_n = 2L/n$	两端固定弦
$v = \sqrt{F_T/\mu}$	弦上波速
$I = \frac{1}{2}\rho v\omega^2 A^2$	波强

光学

公式	适用范围
$d\sin\theta = m\lambda$	双缝亮纹
$\Delta y = \lambda D/d$	双缝条纹间距
$2nd + \varepsilon\lambda/2 = m\lambda$ （亮）	薄膜干涉（反射）
$r_m = \sqrt{mR\lambda}$	牛顿环（暗环·反射）
$a\sin\theta = m\lambda$	单缝暗纹
$\theta = 1.22\lambda/D$	瑞利判据
$d\sin\theta = m\lambda$	光栅方程
$I = I_0(\sin\beta/\beta)^2$	单缝强度
$I = I_0\cos^2\alpha$	马吕斯定律
$\tan\theta_P = n_2/n_1$	布儒斯特定律
$2d\cos\phi = m\lambda$	Bragg 条件

附录 C：知识点模型 ↔ 题型匹配表

一维运动

问题特征	对应模型	解题方法
$a = \text{const}$	匀加速运动	三大运动方程直接代入
$a = a(t)$	变加速运动（时间相关）	直接积分 $v = \int a\,dt$ ， $x = \int v\,dt$
$a = a(v)$	速度相关阻力	分离变量法： $dv/a(v) = dt$
$a = a(x)$	位置相关（弹簧力等）	链式法则： $v\,dv = a(x)\,dx$
求某点速度（含路径信息）	能量法	$E_i = E_f$ 避开中间动力学过程

动力学

问题特征	对应模型	解题方法
单物体 + 多力	隔离体受力图	列各方向 $\sum F = ma$
多物体 + 滑轮 + 绳子	约束系统	每个物体隔离分析，加约束关系（ $a$ 相同）
圆周运动	向心力分析	$\sum F_r = mv^2/R$ ， $\sum F_{\tan} = ma_{\tan}$
斜坡 + 摩擦	斜面动力学	$mg\sin\theta - f = ma$ ， $F_N = mg\cos\theta$
滚动+无滑	滚动动力学	平动方程 + 转动方程 + $a_{CM} = R\alpha$
$F = -kx$	简谐振动	SHM方程 $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$

守恒量

问题特征	守恒量	关键条件
只有保守力做功	机械能 $E$	无摩擦、无非保守外力
合外力为零	线动量 $\vec{p}$	爆裂、碰撞、反冲
某方向合外力为零	该方向动量分量	如水平方向（抛体忽略空气阻力）
合外力矩为零	角动量 $\vec{L}$	有心力、碰撞中轴不受外力矩
碰撞类型判定	—	计算 $e$ 或比较碰撞前后 $K$

振动

问题特征	对应模型	关键公式
弹簧 + 质量	弹簧振子	$\omega = \sqrt{k/m}$
悬挂刚体（复摆）	物理摆	$\omega = \sqrt{Mgd/I}$
单摆（小角度）	单摆	$\omega = \sqrt{g/L}$
势能极小附近的微振动	有效劲度系数	$\omega = \sqrt{U''(x_0)/m}$
两个不同频率的振动源叠加	拍	$f_{\text{beat}} = \|f_1 - f_2\|$
求解稳态振动振幅	受迫振动	$A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}}$

波

问题特征	对应模型	关键公式
给定 $x,t$ → 求波动方程	行波	$y = A\cos(kx \mp \omega t + \varphi)$
两端固定 → 求本征模	驻波	$\lambda_n = 2L/n$ ， $f_n = nv/(2L)$
固定端反射 → 确定相位	半波损失	固定端有 $\pi$ 突变
波的干涉 → 求强/弱点	干涉条件	$\delta = m\lambda$ （强）、 $(m+1/2)\lambda$ （弱）

光学

问题特征	对应模型	关键公式/注意点
双缝产生等间距条纹	杨氏双缝	$\Delta y = \lambda D/d$
薄膜产生彩色条纹	薄膜干涉	先判断 $\varepsilon$ ！（半波损失）
圆环条纹 + 接触点暗斑	牛顿环	$r_m = \sqrt{mR\lambda}$ （反射暗环）
楔形膜等间距直条纹	劈尖干涉	$\Delta\ell = \lambda/(2n\theta)$
单缝 + 屏幕条纹	夫琅禾费衍射	暗纹 $a\sin\theta = m\lambda$
多缝 + 亮纹 + 缺某些级	光栅	缺级条件： $d/a = m/m'$ 有理数
自然光→偏振片→旋转	马吕斯定律	$I = I_0\cos^2\alpha$
反射光为偏振光	布儒斯特角	$\tan\theta_P = n_2/n_1$
两光源能否分辨	瑞利判据	$\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$

附录 D：易错提醒

概念陷阱

“速度为零时加速度也为零” — 错！弹簧振子两端的 $v=0$ 但 $a = \pm\omega^2A \neq 0$
“摩擦力永远做负功” — 错！纯滚动中静摩擦力不做功（接触点速度为零）。人走路靠静摩擦力，它不做功但它使动量和能量分配改变
“向心力是一种新的力” — 错！向心力是其他力（重力/张力/法向力）在径向的合力分量，不是独立力种
“动量守恒要求合外力为零” — 对，但短时间碰撞中外力冲量远小于内力时，动量近似守恒
“角动量守恒 = 动量守恒” — 错！子弹射入悬挂杆，动量不守恒（悬挂点有力），但角动量守恒
“任何圆周运动 $a_{\text{rad}} = v^2/R$ ” — 对，但非匀速圆周运动中 $a_{\text{rad}}$ 不是唯一的加速度，还有 $a_{\tan}$
“完全弹性碰撞能量守恒” — 仅对"弹性"而言。非弹性和完全非弹性碰撞动能不守恒
“等厚干涉的条纹间距只取决于波长” — 还取决于介质折射率 $n$ 和楔角 $\theta$

计算陷阱

单位转换： 角度用 rad（弧度）才对 $\omega$ 和 $\alpha$ 。rpm → rad/s： $1\text{ rpm} = 2\pi/60\text{ rad/s}$
三角函数乘积公式： $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ — 干涉和拍的核心
小角近似： $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$ （rad 下）， $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$ — 双缝和单摆分析中常用
光程差中的 $\varepsilon$ ： 最易丢分！必须逐一分析每个反射面上的折射率变化，确定 $\varepsilon = 0, \pm1$
衍射光栅的主极大强度 $I \propto N^2$ ： 学生常误以为是 $NI_1$