Calculus II 复习总览

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前言

本文是 Calculus II（Thomas’ Calculus）的完整复习总览，覆盖第 10 章至第 16 章的全部核心内容。笔记整合了教材、课堂 PPT 以及 2022-2025 年历年期末考试真题的考点分析。

文中以 【考点】 标注考试高频/必考题型，并注明出现频率（如【3年3考·必考】、【3年2考·高频】、【期中核心·40分】等），帮助你按优先级分配复习时间。

考试结构速览：

考试	核心内容	分数权重
期中	Ch10 级数 (40分) + Ch10 幂级数 (20分) + Ch11 极坐标面积弧长 (20分) + Ch12 空间平面方程/夹角 (20分)	100分
期末 Q1	Ch14 偏导数与微分	20-25分
期末 Q2	Ch14 极值应用 (无条件极值 + Lagrange乘数法)	18-25分
期末 Q3	Ch15 多重积分	30-40分
期末 Q4	Ch16 向量场积分	20-25分

知识脉络总览

章节关联图

flowchart TD
    Ch10["Ch10 无穷序列与级数"] --> Ch11["Ch11 参数方程与极坐标"]
    Ch11 --> Ch13["Ch13 向量值函数与空间运动"]
    Ch10 --> Ch14["Ch14 偏导数"]
    Ch12["Ch12 向量与空间几何"] --> Ch13
    Ch12 --> Ch14
    Ch12 --> Ch15["Ch15 多重积分"]
    Ch14 --> Ch15
    Ch14 --> Ch16["Ch16 向量场中的积分"]
    Ch15 --> Ch16
    Ch12 --> Ch16
    Ch13 --> Ch16

各章节定位

章节	核心主题	在知识体系中的角色
Ch10 无穷序列与级数	序列极限、级数敛散性、幂级数、Taylor展开	函数近似与表示的理论基础，期中考试核心
Ch11 参数方程与极坐标	参数曲线微积分、极坐标面积与弧长、圆锥曲线	曲线描述的替代方法，平面上的微积分工具
Ch12 向量与空间几何	点积/叉积、直线平面方程、二次曲面、柱/球坐标	三维空间的基础语言，后续所有章节的前提
Ch13 向量值函数	曲线运动、曲率挠率、TNB标架、抛体运动	空间中曲线运动的完整描述
Ch14 偏导数	偏导数、链式法则、梯度、切平面、极值、Lagrange乘数法	一元微积分向多元的推广，期末考试 Q1+Q2
Ch15 多重积分	二重/三重积分、坐标变换、Jacobian、质心/转动惯量	多元积分学，期末考试 Q3（分值最大）
Ch16 向量场积分	线积分、曲面积分、Green/Stokes/散度定理	多元微积分的顶峰与统一，期末考试 Q4

核心思维链

一元微积分 → 无穷级数近似 (Ch10) → 多元函数微分 (Ch14) → 多元函数积分 (Ch15) → 向量场统一理论 (Ch16)

工具链：向量空间几何 (Ch12) → 向量值函数/曲线 (Ch13) → 方向导数/梯度 (Ch14) → 线积分/曲面积分 (Ch16)

坐标链：直角坐标 → 极坐标 (Ch11) → 柱坐标 (Ch12/15) → 球坐标 (Ch12/15) → Jacobian一般变换 (Ch15)

第十章：无穷序列与级数 (Infinite Sequences and Series)

【期中核心】 本章占期中考试约 60 分（级数判别 40 分 + 幂级数 20 分），是期中的绝对重点。

10.1 序列 (Sequences)

基本定义

序列 (Sequence): 定义在正整数集上的函数，记作 \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)，\(a_n\) 称为通项 (general term)。

序列的极限 (Limit of a Sequence): 如果对于任意 \(\varepsilon > 0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，有 \(|a_n - L| < \varepsilon\)，则称序列收敛于极限 \(L\)：
\[\lim_{n \to \infty} a_n = L\]

如果极限不存在（包括趋于无穷大、无穷小、或振荡不收敛），则称序列发散 (diverges)。

有界序列 (Bounded Sequence):

如果存在实数 \(M\)，使得对所有 \(n\)，有 \(a_n \leq M\)，则序列上有界 (bounded above)。
如果存在实数 \(m\)，使得对所有 \(n\)，有 \(a_n \geq m\)，则序列下有界 (bounded below)。
如果序列既上有界又下有界，则称其有界 (bounded)。

单调序列 (Monotonic Sequence):

如果对所有 \(n\)，\(a_n \leq a_{n+1}\)，则序列单调递增 (nondecreasing/increasing)。
如果对所有 \(n\)，\(a_n \geq a_{n+1}\)，则序列单调递减 (nonincreasing/decreasing)。

重要定理

定理 1 – 单调有界定理 (Monotonic Bounded Theorem):
如果一个序列是单调的且有界，则该序列收敛。具体来说：单调递增 + 上有界 \(\Rightarrow\) 收敛；单调递减 + 下有界 \(\Rightarrow\) 收敛。

定理 2 – 夹逼定理 (Squeeze Theorem for Sequences):
若对所有 \(n \geq n_0\)，有 \(a_n \leq b_n \leq c_n\)，且 \(\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L\)，则 \(\lim_{n\to\infty} b_n = L\)。

定理 3 – 函数的极限与序列的极限:
如果 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)，且 \(f(n) = a_n\) 对所有正整数 \(n\) 成立，则 \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)。这使我们能够使用 L’Hopital 法则计算序列的极限。

定理 4 – 连续函数与序列极限:
若序列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(L\)，且函数 \(f\) 在 \(x = L\) 处连续，则 \(\lim_{n\to\infty} f(a_n) = f(L)\)。

定理 5 – 极限的四则运算:
若 \(\lim a_n = A\) 且 \(\lim b_n = B\)（均收敛），则：

\(\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B\)
\(\lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B\)
若 \(B \neq 0\)，\(\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}\)
\(\lim (c \cdot a_n) = c \cdot A\)

常见序列极限

\[\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0\]
\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1\]
\[\lim_{n\to\infty} x^{1/n} = 1 \quad (x > 0)\]
\[\lim_{n\to\infty} x^n = 0 \quad (|x| < 1)\]
\[\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\]
\[\lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{n!} = 0 \quad (\text{对任意 } x)\]

10.2 无穷级数 (Infinite Series)

定义

无穷级数: 给定序列 \(\{a_n\}\)，无穷级数是其项的和：
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\]

部分和序列 (Sequence of Partial Sums):
\[s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

如果部分和序列 \(\{s_n\}\) 收敛于有限极限 \(S\)，则称无穷级数收敛于和 \(S\)。如果 \(\{s_n\}\) 发散，则级数发散。

级数的余项 (Remainder):
\[R_n = S - s_n = a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k\]

几何级数 (Geometric Series)

\[\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots\]

部分和公式：\(s_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, \quad r \neq 1\)

若 \(|r| < 1\)，级数收敛，和为 \(\displaystyle \frac{a}{1-r}\)
若 \(|r| \geq 1\)，级数发散

常用形式：\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}, \quad |r| < 1\)

伸缩级数 (Telescoping Series)

部分和可以通过相互抵消简化。典型形式：\(\sum (b_n - b_{n+1})\)

\[\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1\]

一般方法：使用部分分式分解 (partial fraction decomposition)，写出前几项，观察抵消模式。

发散判别法 (nth-Term Test for Divergence)

【考点·基础】 这是判断发散的第一步筛查。

如果 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0\)（或者极限不存在），则 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散。

注意： 如果 \(\lim a_n = 0\)，此判别法不能得出结论——级数可能收敛也可能发散（如调和级数 \(\sum \frac{1}{n}\) 满足 \(a_n \to 0\) 但发散）。

10.3 积分判别法 (The Integral Test) – 【期中核心·40分】

设 \(\{a_n\}\) 为正项序列。如果存在一个定义在 \([1, \infty)\) 上的连续、正值、递减函数 \(f(x)\)，使得 \(f(n) = a_n\) 对所有正整数 \(n\) 成立，则级数和广义积分同敛散：
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{和} \quad \int_1^{\infty} f(x)\,dx\]

条件总结：

\(f(x)\) 在 \([1, \infty)\) 上连续
\(f(x) > 0\)（取正值）
\(f(x)\) 递减（导数 \(f'(x) < 0\)）
\(f(n) = a_n\)

余项估计： 若级数收敛，则：
\[\int_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx \leq R_n \leq \int_n^{\infty} f(x)\,dx\]

p-级数 (p-Series) – 【期中核心·必考】

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]

若 \(p > 1\)，则 p-级数收敛
若 \(p \leq 1\)，则 p-级数发散

特例 – 调和级数 (Harmonic Series)： \(p = 1\) 时发散：
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \quad \text{发散}\]

调和级数发散是微积分中最重要的"反直觉"结果之一：项趋于 0 但级数发散。

10.4 比较判别法 (Comparison Tests) – 【期中核心·40分】

直接比较判别法 (Direct Comparison Test)

设 \(\sum a_n\) 和 \(\sum b_n\) 为正项级数，满足对所有 \(n \geq N\) 有 \(0 \leq a_n \leq b_n\)。

如果 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum a_n\) 收敛
如果 \(\sum a_n\) 发散，则 \(\sum b_n\) 发散

极限比较判别法 (Limit Comparison Test)

设 \(\sum a_n\) 和 \(\sum b_n\) 为正项级数。考虑极限：
\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c\]

如果 \(0 < c < \infty\)（\(c\) 为有限正数），则两级数同敛散
如果 \(c = 0\) 且 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum a_n\) 收敛
如果 \(c = \infty\) 且 \(\sum b_n\) 发散，则 \(\sum a_n\) 发散

使用策略：

找出级数的主导项
选择合适的比较级数（通常是 p-级数或几何级数）
计算极限

10.5 比值判别法与根值判别法 (Ratio and Root Tests) – 【期中核心·40分】

比值判别法 (Ratio Test)

设 \(\sum a_n\) 为项级数。令：
\[\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho\]

如果 \(\rho < 1\)，则级数绝对收敛
如果 \(\rho > 1\)（或 \(\rho = \infty\)），则级数发散
如果 \(\rho = 1\)，判别法无结论

适用场景： 通项含有阶乘 (\(n!\))、指数 (\(a^n\)、\(r^n\))、或乘积项。

根值判别法 (Root Test)

设 \(\sum a_n\) 为项级数。令：
\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho\]

如果 \(\rho < 1\)，则级数绝对收敛
如果 \(\rho > 1\)（或 \(\rho = \infty\)），则级数发散
如果 \(\rho = 1\)，判别法无结论

适用场景： 通项含有 \(n\) 次幂（如 \(a_n = (\cdots)^n\) 形式）。

有用的事实： \(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1\)，\(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!} = \infty\)

10.6 交错级数、绝对收敛与条件收敛 – 【期中核心】

交错级数判别法 (Alternating Series Test / Leibniz Test)

设级数具有形式 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n\)（\(b_n > 0\)）。如果满足以下三个条件：

\(b_n > 0\) 对所有 \(n\)
\(\{b_n\}\) 是递减序列（即 \(b_{n+1} \leq b_n\)）
\(\lim_{n\to\infty} b_n = 0\)

则交错级数收敛。

余项估计: \(|R_n| \leq b_{n+1}\)，即近似误差不超过第一个被省略的项的绝对值。

交错调和级数: \(\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2\)（条件收敛的经典例子）

绝对收敛 (Absolute Convergence)

级数 \(\sum a_n\) 绝对收敛 如果 \(\sum |a_n|\) 收敛。

定理: 绝对收敛 \(\Rightarrow\) 收敛。

条件收敛 (Conditional Convergence)

级数 \(\sum a_n\) 条件收敛 如果它收敛但非绝对收敛（即 \(\sum a_n\) 收敛而 \(\sum |a_n|\) 发散）。

绝对收敛级数的重排定理：

如果 \(\sum a_n\) 绝对收敛，则其任意重排均收敛于相同的和。
如果 \(\sum a_n\) 条件收敛，则可通过重排使其收敛于任意实数（Riemann 重排定理）。

策略总结 – 判断级数收敛性的步骤

检查第 n 项： \(\lim a_n \neq 0\)？则发散（nth-Term Test）。
检查特殊类型：
- 几何级数？\(\sum ar^{n-1}\)：\(|r| < 1\) 收敛。
- p-级数？\(\sum 1/n^p\)：\(p > 1\) 收敛。
- 伸缩级数？直接求部分和极限。
检查正项级数：
- 含阶乘或 \(n\) 次幂？比值或根值判别法。
- 含多项式和根号？极限比较判别法。
- 通项可积？积分判别法。
检查交错级数： 使用交错级数判别法。
区分绝对/条件收敛。

10.7 幂级数 (Power Series) – 【期中·20分】

定义

幂级数 (Power Series) 关于 \(x = a\)：
\[\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n\]

其中 \(a\) 称为幂级数的中心 (center)，\(c_n\) 为系数 (coefficients)。

幂级数的收敛性

存在三种可能：

仅在 \(x = a\) 处收敛（半径 \(R = 0\)）
对所有 \(x \in \mathbb{R}\) 收敛（半径 \(R = \infty\)）
存在 \(R > 0\)，使得级数在 \(|x - a| < R\) 时收敛，在 \(|x - a| > R\) 时发散

收敛半径 (Radius of Convergence)

求法 1 – 使用比值判别法：
\[R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \quad \text{（若极限存在）}\]

求法 2 – 使用根值判别法：
\[R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \quad \text{（若极限存在）}\]

收敛区间 (Interval of Convergence): 端点的收敛性需要单独检验（代入原级数，使用判别法判断）。

逐项微分与逐项积分

定理： 若幂级数的收敛半径为 \(R > 0\)，则在区间 \((a-R, a+R)\) 内：

逐项微分： \(f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1}\)，收敛半径也为 \(R\)。
逐项积分： \(\int f(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}\)，收敛半径也为 \(R\)。

幂级数在其收敛区间内部可以像多项式一样逐项微积分，且收敛半径保持不变。

10.8 Taylor 级数与 Maclaurin 级数 (Taylor and Maclaurin Series) – 【期中·20分】

定义

Taylor 级数（在 \(x = a\) 处）：
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n\]

Maclaurin 级数（\(a = 0\)）：
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\]

重要 Maclaurin 级数（必须熟记） – 【期中考点·必背】

1. 指数函数 \(e^x\)：
\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, \quad R = \infty\]

2. 正弦函数 \(\sin x\)：
\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \quad R = \infty\]

3. 余弦函数 \(\cos x\)：
\[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \quad R = \infty\]

4. 自然对数 \(\ln(1+x)\)：
\[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1\]

5. 反正切 \(\tan^{-1} x\)（或 \(\arctan x\)）：
\[\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots, \quad -1 \leq x \leq 1\]

6. 二项式级数 \((1+x)^k\)：
\[(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots\]
其中 \(\binom{k}{n} = \frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}\)。收敛区间：\(|x| < 1\)（若 \(k\) 不是非负整数）。

7. 几何级数 \(\frac{1}{1-x}\)：
\[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1\]

10.9 Taylor 级数的收敛性 (Convergence of Taylor Series)

Taylor 定理与余项

Taylor 定理： 如果 \(f\) 及其前 \(n\) 阶导数在含 \(a\) 和 \(x\) 的区间上连续，且 \(f^{(n+1)}\) 在该区间上存在，则：
\[f(x) = P_n(x) + R_n(x)\]

其中 \(P_n(x)\) 为 \(n\) 阶 Taylor 多项式，\(R_n(x)\) 为余项。

Lagrange 形式的余项：
\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1}\]
其中 \(c\) 是 \(a\) 与 \(x\) 之间的某个数。

Lagrange 误差界 – 【考点】

如果对于 \(a\) 与 \(x\) 之间的所有 \(t\)，有 \(|f^{(n+1)}(t)| \leq M\)，则：
\[|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} |x - a|^{n+1}\]

要证明 Taylor 级数等于原函数，需证明 \(\lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0\)。

标准反例： \(f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}\) 在 \(x=0\) 的所有导数为 0，Maclaurin 级数为 0，但 \(f(x) \neq 0\)（当 \(x \neq 0\)）。

10.10 二项式级数及其应用 (The Binomial Series and Applications)

二项式级数

对任意实数 \(k\)：
\[(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n\]

若 \(k\) 为非负整数，级数为有限项（普通二项式定理）
若 \(k\) 不是非负整数，级数在 \(|x| < 1\) 时收敛

Taylor 级数的应用：

数值近似计算： 用 Taylor 多项式近似定积分（如 \(\int_0^1 e^{-x^2}dx\)）
求极限： 如 \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}\)

第十一章：参数方程与极坐标 (Parametric Equations and Polar Coordinates)

【期中·20分】 本章极坐标面积与弧长是期中必考内容。

11.1 参数化与平面曲线

参数方程用一个参数 \(t\) 来描述曲线上点的坐标：
\[x = f(t), \quad y = g(t), \quad t \in I\]

常见参数化：

曲线	参数方程
直线	\(x = x_0 + at,\quad y = y_0 + bt\)
圆	\(x = h + R\cos t,\quad y = k + R\sin t\)
椭圆	\(x = h + a\cos t,\quad y = k + b\sin t\)
摆线 (Cycloid)	\(x = a(t - \sin t),\quad y = a(1 - \cos t)\)

消去参数的三种方法：

从一个方程解出 \(t\)，代入另一个方程
利用三角恒等式（如 \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\)）
代数处理

11.2 参数曲线的微积分 (Calculus with Parametric Curves) – 【考点】

一阶导数（切线斜率）

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}\]

如果 \(dx/dt = 0\) 且 \(dy/dt \neq 0\)，则切线是垂直的
如果 \(dy/dt = 0\) 且 \(dx/dt \neq 0\)，则切线是水平的

二阶导数

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}\]

注意：\(\frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}\)！

参数曲线的弧长

\[L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\; dt\]

旋转曲面的表面积

绕 \(x\) 轴旋转（\(y \geq 0\)）：
\[S = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\; dt\]

绕 \(y\) 轴旋转（\(x \geq 0\)）：
\[S = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi x \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\; dt\]

11.3 极坐标 (Polar Coordinates)

极坐标由 \((r, \theta)\) 确定：

\(r\)：从极点（原点）到该点的有向距离
\(\theta\)：从极轴（正 \(x\) 轴）逆时针测量的角度

转换公式：
\[x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta\]
\[r^2 = x^2 + y^2, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}\]

11.4 极坐标中的图形绘制

对称性测试：

对称类型	测试条件
关于 \(x\) 轴	\((r, -\theta)\) 或 \((-r, \pi-\theta)\)
关于 \(y\) 轴	\((r, \pi-\theta)\) 或 \((-r, -\theta)\)
关于极点	\((-r, \theta)\) 或 \((r, \theta+\pi)\)

常见极坐标曲线：

曲线	方程	特征
心形线 (Cardioid)	\(r = a(1 \pm \cos\theta)\) 或 \(r = a(1 \pm \sin\theta)\)	心形，一个尖端
蜗线 (Limaçon)	\(r = a \pm b\cos\theta\) 或 \(r = a \pm b\sin\theta\)	取决于 \(a/b\) 比值
玫瑰线 (Rose)	\(r = a\cos(n\theta)\) 或 \(r = a\sin(n\theta)\)	\(n\) 奇数：\(n\) 瓣；\(n\) 偶数：\(2n\) 瓣
双纽线 (Lemniscate)	\(r^2 = a^2\cos(2\theta)\) 或 \(r^2 = a^2\sin(2\theta)\)	8 字形
阿基米德螺旋线	\(r = a\theta\)	螺旋，间距均匀

11.5 极坐标中的面积与弧长 – 【期中·20分】

极坐标面积 – 【考点】核心公式

\[\boxed{A = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} r^2\; d\theta = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2\; d\theta}\]

两条极坐标曲线之间的面积：
\[A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \left([f(\theta)]^2 - [g(\theta)]^2\right) d\theta\]

其中 \(f(\theta) \geq g(\theta) \geq 0\)（\(f\) 是外曲线，\(g\) 是内曲线）。

经典例题 – 心形线面积： \(r = a(1 + \cos\theta)\)
\[A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2(1 + \cos\theta)^2\,d\theta = \frac{3}{2}\pi a^2\]

极坐标弧长

\[L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\; d\theta\]

极坐标切线斜率

\[\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}, \quad r' = \frac{dr}{d\theta}\]

11.6 圆锥曲线 (Conic Sections)

焦点-准线定义： 圆锥曲线是平面内到定点 \(F\)（焦点）与到定直线 \(L\)（准线）距离之比为定值 \(e\)（离心率）的点的轨迹：
\[\frac{PF}{PD} = e\]

离心率	类型	标准形式
\(e = 0\)	圆 (Circle)	\(x^2 + y^2 = a^2\)
\(0 < e < 1\)	椭圆 (Ellipse)	\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), \(c^2 = a^2 - b^2\)
\(e = 1\)	抛物线 (Parabola)	\(y^2 = 4px\), 焦点 \((p, 0)\)
\(e > 1\)	双曲线 (Hyperbola)	\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), \(c^2 = a^2 + b^2\)

11.7 极坐标中的圆锥曲线 – 【考点】

统一极坐标方程：
\[r = \frac{ed}{1 \pm e\cos\theta} \quad \text{或} \quad r = \frac{ed}{1 \pm e\sin\theta}\]

根据 \(e\) 分类：

\(e < 1\)：椭圆
\(e = 1\)：抛物线
\(e > 1\)：双曲线

第十二章：向量与空间几何 (Vectors and Geometry of Space)

【期中·20分】 空间平面方程与夹角是期中重点。本章也是 Ch13-16 的 3D 基础。

12.1 三维坐标系

右手坐标系： 右手手指从正 x 轴弯向正 y 轴时，拇指指向正 z 轴。

距离公式：
\[|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

球面方程： 以 \((x_0, y_0, z_0)\) 为球心、\(a\) 为半径：
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = a^2\]

12.2 向量 (Vectors)

分量形式： \(\overrightarrow{PQ} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle\)

向量大小： \(|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\)

运算：

加法：\(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \langle u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3 \rangle\)
标量乘法：\(k\mathbf{u} = \langle ku_1, ku_2, ku_3 \rangle\)

标准基向量： \(\mathbf{i} = \langle 1, 0, 0 \rangle\), \(\mathbf{j} = \langle 0, 1, 0 \rangle\), \(\mathbf{k} = \langle 0, 0, 1 \rangle\)

单位向量： \(\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\)

12.3 点积 (The Dot Product) – 【考点】

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\]

角度公式：
\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta, \quad \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}\right)\]

正交条件： \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\)

向量投影：
\[\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\right)\mathbf{v}\]

标量分量： \(|\mathbf{u}|\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\)

功 (Work)： \(W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{D} = |\mathbf{F}||\mathbf{D}|\cos\theta\)

方向余弦： \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1\)

12.4 叉积 (The Cross Product) – 【考点】

\[\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\]

展开：
\[\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3 - u_3v_2)\mathbf{i} - (u_1v_3 - u_3v_1)\mathbf{j} + (u_1v_2 - u_2v_1)\mathbf{k}\]

性质：

反交换律：\(\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})\)
平行条件：\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}\)
标准基：\(\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}, \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}\)

几何意义： \(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta\) 等于以 \(\mathbf{u}\) 和 \(\mathbf{v}\) 为邻边的平行四边形面积。

三角形面积： \(\text{Area} = \frac{1}{2}|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|\)

三重标量积（体积）：
\[(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}\]

\(|(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}|\) = 平行六面体体积，四面体体积 = \(\frac{1}{6}|(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}|\)

力矩 (Torque)： \(\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\)

12.5 空间中的直线和平面 (Lines and Planes in Space) – 【期中·20分】

空间直线的方程

设直线过 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 且平行于 \(\mathbf{v} = \langle a, b, c \rangle\)。

向量方程： \(\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}\)

参数方程： \(x = x_0 + at,\; y = y_0 + bt,\; z = z_0 + ct\)

对称方程： \(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\)（\(a,b,c\) 均不为 0）

空间平面方程 – 【期中·20分·必考】

平面由一个点和一个法向量 (normal vector) 确定。

向量方程： \(\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0\)

分量方程： \(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\)

简化形式： \(Ax + By + Cz = D\)，其中法向量 \(\mathbf{n} = \langle A, B, C \rangle\)

由三点求平面： \(\mathbf{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}\)

点到平面的距离

\[d = \frac{|\overrightarrow{PS} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

两平面的夹角

\[\theta = \cos^{-1}\left(\frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}\right)\]

平行平面：\(\mathbf{n}_1 = k\mathbf{n}_2\)
垂直平面：\(\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0\)

两平面交线

交线的方向向量 = 两平面法向量的叉积：\(\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2\)

点到直线的距离

\[d = \frac{|\overrightarrow{PS} \times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}\]

12.6 柱面和二次曲面 (Cylinders and Quadric Surfaces) – 【考点】

二次曲面快速判定表

标准形式	类型
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)	椭球面 (Ellipsoid)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}\)	椭圆抛物面 (Elliptic Paraboloid)
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=\frac{z}{c}\)	双曲抛物面 / 马鞍面 (Hyperbolic Paraboloid)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\)	椭圆锥面 (Elliptic Cone)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)	单叶双曲面 (Hyperboloid of One Sheet)
\(\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)	双叶双曲面 (Hyperboloid of Two Sheets)

记忆技巧（观察符号和常数）：

所有项为正 + 右边 = 1 \(\to\) 椭球面
两个平方项 + 一个一次项 \(\to\) 抛物面
一个负号 \(\to\) 鞍面（双曲抛物面）
两个正 + 一个负 + 右边 = 1 \(\to\) 单叶双曲面
一个正 + 两个负 + 右边 = 1 \(\to\) 双叶双曲面
只有平方项 + 右边 = 0 \(\to\) 锥面

柱坐标系 (Cylindrical Coordinates) – 【考点·Ch15基础】

\[x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z\]
\[r^2 = x^2 + y^2,\quad \tan\theta = \frac{y}{x}\]

体积元： \(dV = r \; dz \; dr \; d\theta\)

球坐标系 (Spherical Coordinates) – 【考点·Ch15基础】

\[x = \rho\sin\phi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\phi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\phi\]

其中 \(\rho \geq 0\)，\(0 \leq \phi \leq \pi\)，\(0 \leq \theta < 2\pi\)。

体积元： \(dV = \rho^2 \sin\phi \; d\rho \; d\phi \; d\theta\)

与柱坐标的关系： \(r = \rho\sin\phi\)，\(z = \rho\cos\phi\)

第十三章：向量值函数与空间运动 (Vector-Valued Functions and Motion in Space)

13.1 空间曲线及其切线

向量值函数定义：
\[\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\,\mathbf{i} + g(t)\,\mathbf{j} + h(t)\,\mathbf{k}\]

导数： \(\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle\)

单位切线向量： \(\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\)

光滑曲线： \(\mathbf{r}'(t)\) 连续且 \(\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0}\)。

常数长度的向量函数性质： 如果 \(|\mathbf{r}(t)| = c\)，则 \(\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}'(t) = 0\)。

13.2 积分与抛体运动 (Projectile Motion) – 【考点】

理想抛体运动

从原点发射，初速率 \(v_0\)，角度 \(\alpha\)：

位置：
\[x(t) = (v_0\cos\alpha)\,t, \quad y(t) = (v_0\sin\alpha)\,t - \frac{1}{2}gt^2\]

轨迹方程（Cartesian Equation）：
\[y = (\tan\alpha)\,x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2\]

关键量：

量	公式
飞行时间	\(t_f = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}\)
射程 (Range)	\(R = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}\)
最大高度	\(y_{\max} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}\)

最大射程： \(\alpha = 45^\circ\) 时，\(R_{\max} = \frac{v_0^2}{g}\)

13.3 空间曲线的弧长 (Arc Length in Space)

\[L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt = \int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [h'(t)]^2}\,dt\]

弧长微分： \(ds = |\mathbf{r}'(t)|\,dt\)

速率： \(\text{Speed} = |\mathbf{v}(t)| = \frac{ds}{dt}\)

弧长参数化性质： \(\left|\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right| = 1\)，\(\frac{d\mathbf{r}}{ds} = \mathbf{T}\)

13.4 曲率与曲线的法向量 (Curvature and Normal Vector) – 【考点】

曲率定义

\[\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|\]

最重要公式： \(\kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3} = \frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|^3}\) – 【考点·核心】

平面曲线 \(y = f(x)\)：
\[\kappa(x) = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\]

曲率半径： \(\rho = \frac{1}{\kappa}\)

主单位法向量 (Principal Unit Normal)

\[\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}\]

也可用叉积公式：\(\mathbf{N} = \frac{(\mathbf{v} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{v}}{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|\,|\mathbf{v}|}\)

13.5 加速度的切向与法向分量 – 【考点】

\[\mathbf{a} = a_T\,\mathbf{T} + a_N\,\mathbf{N}\]

分量	公式1	公式2
\(a_T\)	\(\frac{d\|\mathbf{v}\|}{dt}\)	\(\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|}\)
\(a_N\)	\(\kappa\|\mathbf{v}\|^2\)	\(\frac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|}\)

\(a_T\)：反映速率大小的变化（加速/减速）
\(a_N\)：反映运动方向的改变（转弯）
\(a_N = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 - a_T^2}\)，\(a_T^2 + a_N^2 = |\mathbf{a}|^2\)

13.6 挠率与副法向量 (Torsion and the Binormal Vector) – 【TNB标架·考点】

Frenet 标架 (TNB Frame)

向量	名称	定义
\(\mathbf{T}\)	单位切线向量	\(\mathbf{T} = \frac{\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}'\|}\)
\(\mathbf{N}\)	主单位法向量	\(\mathbf{N} = \frac{\mathbf{T}'}{\|\mathbf{T}'\|}\)
\(\mathbf{B}\)	副法向量	\(\mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{a}}{\|\mathbf{v} \times \mathbf{a}\|}\)

挠率 (Torsion)

\[\tau = \frac{(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2}\]

\(\tau = 0\)：平面曲线
\(\tau > 0\)：右手螺旋方向扭转

Frenet-Serret 公式

\[\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa \mathbf{N}, \quad \frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa \mathbf{T} + \tau \mathbf{B}, \quad \frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau \mathbf{N}\]

第十四章：偏导数 (Partial Derivatives)

【期末 Q1+Q2·共38-50分】 偏导数计算、链式法则、极值是考试重点。

14.1 多元函数 (Functions of Several Variables)

二元函数 \(z = f(x, y)\) 的图形是三维空间中的一张曲面。

等高线 (Level Curves)： 方程 \(f(x, y) = k\) 定义的曲线。等高线密集意味着曲面陡峭；稀疏意味着平缓。

等值面 (Level Surfaces)： 三元函数 \(f(x, y, z) = k\) 定义的曲面（如 \(x^2 + y^2 + z^2 = k\) 是同心球面）。

14.2 高维空间中的极限与连续性

关键区别： 在二元微积分中，\((x, y)\) 可以从无穷多个方向和路径趋近 \((x_0, y_0)\)。只有当沿着所有可能的路径极限都相同，极限才存在。

两路径检验法 (Two-Path Test)： 如果沿两条不同路径趋近得到不同的极限，则极限不存在 (DNE)。

经典例题： \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}\)

路径 \(y = 0\)：极限 \(= 0\)
路径 \(y = x\)：极限 \(= \frac{1}{2}\)
两个不同极限 \(\implies\) DNE

极坐标法（证明极限存在）： 令 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)，若 \(r \to 0\) 时结果与 \(\theta\) 无关，则极限存在。

14.3 偏导数 (Partial Derivatives) – 【3年3考·必考】

定义

\[f_x(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}\]
\[f_y(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}\]

求导规则： 求 \(f_x\) 时把 \(y\) 视为常数，求 \(f_y\) 时把 \(x\) 视为常数。

高阶偏导数：
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{yx}\]

Clairaut 定理： 如果 \(f_{xy}\) 和 \(f_{yx}\) 连续，则 \(f_{xy} = f_{yx}\)。

14.4 链式法则 (The Chain Rule) – 【3年3考·必考】

情况一：\(z = f(x, y)\)，\(x = g(t)\)，\(y = h(t)\)

\[\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\]

情况二：\(z = f(u, v)\)，\(u = g(x, y)\)，\(v = h(x, y)\)

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\]
\[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\]

隐函数求导

情形一： \(F(x, y) = 0\) 将 \(y\) 隐式定义为 \(x\) 的函数：
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\]

情形二： \(F(x, y, z) = 0\) 将 \(z\) 隐式定义为 \(x, y\) 的函数：
\[\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}\]

14.5 方向导数与梯度向量 (Directional Derivatives and Gradient)

梯度

\[\nabla f(x, y) = \langle f_x, f_y \rangle, \quad \nabla f(x, y, z) = \langle f_x, f_y, f_z \rangle\]

方向导数

沿单位向量 \(\mathbf{u}\) 的方向导数：
\[D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f| \cos\theta\]

关键性质：

\(\nabla f\) 指向 \(f\) 增加最快的方向
最大增长率 = \(|\nabla f|\)
\(\nabla f\) 垂直于等高线（当 \(\nabla f \neq \mathbf{0}\) 时）

14.6 切平面与微分 (Tangent Planes and Differentials) – 【3年2考·高频】

切平面方程

曲面 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处的切平面：
\[z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)\]

法向量：\(\mathbf{n} = \langle f_x, f_y, -1 \rangle\)

线性化 (Linearization)

\[L(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)\]

切平面 \(z = L(x, y)\) 就是 \(f(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 处的标准线性近似。

全微分 (Total Differential)

\[dz = f_x\,dx + f_y\,dy = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy\]

误差估计： \(\Delta z \approx dz = \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\Delta y\)

14.7 极值与鞍点 (Extreme Values and Saddle Points) – 【3年2考·高频】

无条件极值 – Hessian 判别法

临界点：\(f_x(a, b) = 0\) 且 \(f_y(a, b) = 0\)（即 \(\nabla f = \mathbf{0}\)）

二阶导数检验 (Second Derivative Test)： 计算 Hessian 行列式：
\[D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2\]

\(D\)	\(f_{xx}\)	结论
\(D > 0\)	\(f_{xx} > 0\)	局部极小值 (Local Minimum)
\(D > 0\)	\(f_{xx} < 0\)	局部极大值 (Local Maximum)
\(D < 0\)	–	鞍点 (Saddle Point)
\(D = 0\)	–	不确定 (Inconclusive)

经典鞍点函数： \(f(x, y) = x^2 - y^2\) 在 \((0, 0)\) 处。

闭有界区域上的绝对极值

求区域内部的临界点
求 \(f\) 在区域边界上的极值（参数化边界，转化为一元函数问题）
比较所有候选值，最大者为绝对最大值，最小者为绝对最小值

14.8 Lagrange 乘数法 (Lagrange Multipliers) – 【3年3考·必考】

条件极值 — 单个约束

求 \(f(x, y)\) 在约束 \(g(x, y) = k\) 下的极值，求解方程组：
\[\nabla f = \lambda \nabla g, \quad g(x, y) = k\]

即：
\[f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x, y) = k\]

几何意义： 在最优点处，\(f\) 的等高线与约束曲线 \(g = k\) 相切，即 \(\nabla f \parallel \nabla g\)。

三个变量的情况

对于 \(f(x, y, z)\) 受约束 \(g(x, y, z) = k\)：
\[f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad f_z = \lambda g_z, \quad g = k\]

多个约束

\[\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h\]

典型应用问题：

最大化/最小化面积、体积、距离
点到平面的最短距离
经济学中的效用最大化（Maximize \(U(x, y)\) subject to \(p_1x + p_2y = I\)）

14.9 二元函数的泰勒公式 (Taylor’s Formula for Two Variables)

一阶近似（线性化）：
\[f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)\]

二阶 Taylor 多项式：
\[f(a+h, b+k) \approx f(a,b) + hf_x + kf_y + \frac{1}{2}(h^2f_{xx} + 2hkf_{xy} + k^2f_{yy})\]

紧凑形式（算子记号）：
\[f(a+h, b+k) = \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!}\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(a, b) + R_n\]

14.10 带约束变量的偏导数

关键恒等式（热力学中有用）：
\[\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z \cdot \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x \cdot \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1\]

第十五章：多重积分 (Multiple Integrals)

【期末 Q3·30-40分】 多重积分是期末分值最大的章节。二重积分交换次序每年必考。

15.1-15.2 二重积分 (Double Integrals) – 【3年3考·必考·最重要】

矩形区域上的二重积分 (Fubini 定理)

\[\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy\]

一般区域 – 【考点·交换积分次序】

Type I 区域（垂直简单区域）：
\[D = \{(x,y) \mid a \leq x \leq b,\; g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}\]
\[\iint_D f(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{x=b} \int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx\]

Type II 区域（水平简单区域）：
\[D = \{(x,y) \mid c \leq y \leq d,\; h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}\]
\[\iint_D f(x,y)\,dA = \int_{y=c}^{y=d} \int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy\]

交换积分次序 – 【3年3考·必考】

经典例子：\(\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx\)

先积 \(y\) 时 \(e^{y^2}\) 无初等原函数，但交换次序后：
\[\int_0^1 \int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y e^{y^2}\,dy = \frac{1}{2}(e-1)\]

步骤：

从原积分限画出积分区域
将区域重新描述为另一种 Type
写出新的积分限

15.3 用二重积分求面积

\[A = \iint_D 1\,dA = \iint_D dA\]

在极坐标下：\(A = \iint_D r\,dr\,d\theta\)

15.4 极坐标下的二重积分

极坐标变换

\[x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta\]

\[\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\; r\,dr\,d\theta\]

适合使用极坐标的情况：

积分区域是圆形、环形、扇形
被积函数含有 \(x^2 + y^2\)
积分限在直角坐标下复杂但在极坐标下变为常数

15.5-15.6 二重积分的应用：质量、矩、质心

质量： \(m = \iint_D \delta(x,y)\,dA\)

一阶矩：
\[M_x = \iint_D y\,\delta(x,y)\,dA, \quad M_y = \iint_D x\,\delta(x,y)\,dA\]

质心：
\[\bar{x} = \frac{M_y}{m}, \quad \bar{y} = \frac{M_x}{m}\]

转动惯量：
\[I_x = \iint_D y^2\,\delta\,dA, \quad I_y = \iint_D x^2\,\delta\,dA, \quad I_O = I_x + I_y\]

曲面积分求表面积

\[A = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\; dA\]

15.7 直角坐标下的三重积分

对于长方形盒子 \([a,b] \times [c,d] \times [p,q]\)：
\[\iiint_D f\,dV = \int_a^b \int_c^d \int_p^q f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx\]

六种可能的积分次序： \(dz\,dy\,dx\), \(dz\,dx\,dy\), \(dy\,dz\,dx\), \(dy\,dx\,dz\), \(dx\,dy\,dz\), \(dx\,dz\,dy\)

用三重积分求体积： \(V = \iiint_D 1\,dV\)

15.8 柱坐标下的三重积分 – 【3年2考·高频】

\[x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta,\quad z = z,\quad dV = r\,dz\,dr\,d\theta\]

\[\iiint_D f\,dV = \int_{\theta=\alpha}^{\beta} \int_{r=g_1(\theta)}^{g_2(\theta)} \int_{z=u_1(r,\theta)}^{u_2(r,\theta)} f\; r\,dz\,dr\,d\theta\]

适合使用柱坐标的情况：

积分区域关于 \(z\) 轴具有旋转对称性
被积函数含有 \(x^2 + y^2\)
区域在 \(xy\) 平面的投影是圆形或扇形

15.9 球坐标下的三重积分 – 【3年2考·高频】

\[x = \rho\sin\phi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\phi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\phi\]
\[dV = \rho^2 \sin\phi\; d\rho\,d\phi\,d\theta\]

\[\iiint_D f\,dV = \int_{\theta=\alpha}^{\beta} \int_{\phi=\phi_1}^{\phi_2} \int_{\rho=g_1}^{g_2} f\; \rho^2\sin\phi\; d\rho\,d\phi\,d\theta\]

适合使用球坐标的情况：

积分区域是球体、球壳、球冠、锥体
被积函数含有 \(x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2\)

15.10 变量替换与 Jacobian – 【考点】

二重积分的变量替换

\[\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v))\; |J(u,v)|\; du\,dv\]

其中 Jacobian：
\[J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}\]

三重积分的 Jacobian

\[J(u,v,w) = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{vmatrix}\]

常见坐标变换的 Jacobian

变换	\(J\)
极坐标 \((r,\theta)\)	\(J = r\)
柱坐标 \((r,\theta,z)\)	\(J = r\)
球坐标 \((\rho,\phi,\theta)\)	\(J = \rho^2 \sin\phi\)

第十六章：向量场中的积分 (Integration in Vector Fields)

【期末 Q4·20-25分】 三大定理（Green, Stokes, 散度定理）是本章核心。

16.1 向量场 (Vector Fields)

二维向量场： \(\mathbf{F}(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle\)

三维向量场： \(\mathbf{F}(x, y, z) = \langle P, Q, R \rangle\)

梯度场与势函数

如果存在标量函数 \(f\) 使得 \(\mathbf{F} = \nabla f\)，则称 \(\mathbf{F}\) 为梯度场（保守场），\(f\) 称为势函数。

保守场判别法

二维判别法： \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)

三维判别法 – 旋度判别 (Curl Test)：
\[\text{curl}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\]

保守场的充要条件（在单连通区域上）：\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \mathbf{0}\)

重要： curl test 仅在单连通区域上才是充分的。

求势函数的方法： 逐次积分，从 \(f_x = P\) 开始。

16.2 标量函数的线积分 (Line Integrals of Scalar Functions)

\[\int_C f(x,y,z)\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt\]

其中 \(ds = |\mathbf{r}'(t)|\,dt = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2}\,dt\)

物理意义：

线的质量：\(M = \int_C \delta(x,y,z)\,ds\)
曲线的弧长：\(\int_C 1\,ds = \text{弧长}\)

16.3 向量场的线积分 (Line Integrals of Vector Fields) – 【3年2考·高频】

做功 (Work) – 【3年2考·高频】

\[\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt\]

分量形式：
\[\int_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \int_a^b \left[ P\frac{dx}{dt} + Q\frac{dy}{dt} + R\frac{dz}{dt} \right] dt\]

环量 (Circulation)： 闭合回路的线积分 \(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

方向依赖性： \(\int_{-C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

通量 (Flux Across a Plane Curve) – 【3年3考·必考】

在二维中，向量场穿过曲线 \(C\) 的通量：
\[\text{Flux} = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds = \int_C P\,dy - Q\,dx\]

16.4 路径无关性与线积分基本定理 (Fundamental Theorem for Line Integrals)

路径无关性 (Path Independence)

以下条件在连通区域上等价：

\(\mathbf{F}\) 是保守场（\(\mathbf{F} = \nabla f\)）
\(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) 路径无关
沿任意闭合路径的积分为零：\(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0\)
\(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) (2D) 或 \(\text{curl}\,\mathbf{F} = \mathbf{0}\) (3D)

线积分基本定理 (FTLI)

若 \(\mathbf{F} = \nabla f\)，则：
\[\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)\]

经典反例： \(\mathbf{F} = \langle \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \rangle\) 在去掉原点的平面上满足 \(\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x\)，但绕原点的闭合路径积分不为零（等于 \(2\pi\)）。

16.5 Green 定理 (Green’s Theorem) – 【3年2考·高频】

环量形式 (Circulation Form / Tangential Form)

\[\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA\]

通量形式 (Flux Form / Divergence Form)

\[\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds = \iint_R \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dA = \iint_R \text{div}\,\mathbf{F}\,dA\]

即：
\[\oint_C P\,dy - Q\,dx = \iint_R \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dA\]

用 Green 定理求面积

\[A = \frac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)\]

应用条件：

\(C\) 是闭合曲线
\(C\) 是简单曲线（不自交）
\(C\) 取正向（逆时针，区域在左侧）
\(C\) 分段光滑
\(P, Q\) 及其偏导数在包含 \(R\) 的区域上连续

带洞区域： 外边界取正向（逆时针），内边界取反向（顺时针）。

16.6 曲面与曲面积 (Surfaces and Area) – 【考点·基础】

曲面的参数化

曲面	参数化
平面 \(z = f(x,y)\)	\(\mathbf{r}(x,y) = \langle x, y, f(x,y) \rangle\)
球面 \(x^2+y^2+z^2 = a^2\)	\(\mathbf{r}(\phi,\theta) = \langle a\sin\phi\cos\theta, a\sin\phi\sin\theta, a\cos\phi \rangle\)
柱面 \(x^2+y^2 = a^2\)	\(\mathbf{r}(\theta, z) = \langle a\cos\theta, a\sin\theta, z \rangle\)

曲面积微元

参数曲面： \(dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv\)

显式曲面 \(z = f(x,y)\)： \(dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dx\,dy\)

16.7 曲面积分 (Surface Integrals)

标量函数的曲面积分

\[\iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v))\,|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv\]

向量场的曲面积分 – 通量 (Flux) – 【3年3考·必考】

\[\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv\]

显式曲面 \(z = g(x,y)\) 取向上法向量：
\[\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D \left[ -P\frac{\partial g}{\partial x} - Q\frac{\partial g}{\partial y} + R \right] dx\,dy\]

物理意义：

若 \(\mathbf{F}\) 是流速场，通量 = 流体穿过曲面的净体积流率
若 \(\mathbf{F}\) 是电场，通量与高斯定律有关

16.8 Stokes 定理 (Stokes’ Theorem)

\[\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\text{curl}\,\mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}\]

正向规则（右手法则）： 沿 \(C\) 的正方向行走，头指向曲面法向量方向，曲面在左侧。

Green 定理是 Stokes 定理的特例： 取 \(S\) 为 \(xy\)-平面上的区域，\(\mathbf{n} = \mathbf{k}\)。

Stokes 定理推论：

若 \(\mathbf{F}\) 保守（\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \mathbf{0}\)），则 \(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0\)
闭合曲面上旋度的通量为零

16.9 散度定理 – 高斯定理 (Divergence Theorem / Gauss’s Theorem)

\[\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_D \text{div}\,\mathbf{F}\,dV = \iiint_D \nabla \cdot \mathbf{F}\,dV\]

散度： \(\text{div}\,\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)

\(\text{div}\,\mathbf{F} > 0\)：该点为"源"（source）
\(\text{div}\,\mathbf{F} < 0\)：该点为"汇"（sink）
\(\text{div}\,\mathbf{F} = 0\)：无源场（solenoidal / divergence-free）

应用前提：

曲面 \(S\) 必须是闭合的
\(\mathbf{F}\) 的分量及偏导数在区域内连续
法向量取向外方向

16.10 统一理论 – 三大定理的关系

所有定理都是微积分基本定理 (FTC) 在不同维度下的推广：

定理	维度	公式
FTC	1D	\(\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)\)
FTLI	1D \(\to\) 2D/3D	\(\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)\)
Green	2D	\(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_R (Q_x - P_y) dA\)
Stokes	2D/3D	\(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS\)
Gauss	3D	\(\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_D \nabla \cdot \mathbf{F}\,dV\)

共同模式： 区域边界上的积分 = 区域内部某种"导数"的积分。

三个关键算子：

梯度 (Gradient)： 标量 \(\to\) 向量，\(\nabla f = \langle f_x, f_y, f_z \rangle\)
旋度 (Curl)： 向量 \(\to\) 向量，\(\nabla \times \mathbf{F}\)
散度 (Divergence)： 向量 \(\to\) 标量，\(\nabla \cdot \mathbf{F}\)

两个重要恒等式：

\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\)（梯度场无旋）
\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\)（旋度场无散）

16.11 定理选择决策树 (Theorem Selection Decision Tree) – 【考点·非常重要】

给定一个积分问题：

1. 是线积分吗 (Line Integral)?
   ├─ 标量函数 f (不是向量场)
   │  └─ 直接参数化 C，∫ f(r(t))|r'(t)|dt
   │
   ├─ 向量场 F，非闭合路径
   │  ├─ F 保守吗？→ 是 → 用 FTLI：求 f，算 f(B)-f(A)
   │  └─ 否 → 直接参数化并积分
   │
   └─ 向量场 F，闭合路径 (∮)
      ├─ 是 2D 问题吗？
      │  └─ 是 → Green 定理：∮Pdx+Qdy = ∬(Q_x-P_y)dA
      │         └─ 也可考虑 通量形式：∮Pdy-Qdx = ∬(P_x+Q_y)dA
      │
      └─ 是 3D 问题吗？
         └─ 可找到以 C 为边界的曲面 S 吗？
            └─ 是 → Stokes 定理：∮F·dr = ∬(curl F)·n dS

2. 是曲面积分吗 (Surface Integral)?
   ├─ 标量函数 f
   │  └─ 参数化曲面，∬ f(r(u,v))|r_u×r_v| du dv
   │
   └─ 向量场 F（通量）
      ├─ 曲面是闭合的吗？
      │  ├─ 是 → 散度定理 (Gauss)：∬F·n dS = ∭ div F dV
      │  └─ 否 → 直接参数化或投影法
      │
      └─ 被积函数是 curl F 吗？
         └─ 是 → 考虑用 Stokes 定理转为边界线积分

3. 需要算面积吗？
   └─ 平面区域：A = ½∮(x dy - y dx)（Green 定理面积公式）

记忆口诀：

“梯度\(\to\)保守\(\to\)路径无关\(\to\)基本定理”
“Green 在平面，Stokes 在空间”
“旋度过面等于环量绕线”（Stokes 定理）
“散度过体等于通量绕面”（散度定理）
“闭合路径 \(\to\) 想 Green/Stokes；闭合曲面 \(\to\) 想 Gauss”

附录 A：公式总表

A.1 第10章：无穷序列与无穷级数

公式	使用条件	字母含义	适用问题
\(\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0\)	无	–	序列极限
\(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1\)	无	–	序列极限
\(\lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{n!} = 0\)	任意 \(x\)	–	序列极限
\(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}\)	\(\|r\| < 1\)	\(a\): 首项, \(r\): 公比	几何级数求和
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\)	\(p>1\) 收敛, \(p\leq 1\) 发散	\(p\): 幂指数	p-级数敛散
\(\sum a_n\) 同敛散于 \(\int_1^{\infty} f(x)dx\)	\(f(x)\) 正/连续/递减, \(f(n)=a_n\)	–	积分判别法
\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c\) (\(0<c<\infty\))	\(a_n,b_n > 0\)	\(c\): 极限值	极限比较判别法
\(\rho = \lim \left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\|\)	任意项级数	\(\rho\): 比值极限	比值判别法
\(\rho = \lim \sqrt[n]{\|a_n\|}\)	任意项级数	\(\rho\): 根值极限	根值判别法
\(\sum (-1)^{n-1}b_n\) 收敛	\(b_n>0\), \(b_n\searrow\), \(b_n\to 0\)	\(b_n\): 正项绝对值	交错级数判别法
\(\|R_n\| \leq b_{n+1}\)	交错级数判别法条件满足	\(R_n\): 余项	交错级数误差估计
\(\sum c_n (x-a)^n\)	\(c_n\) 为系数, \(a\) 为中心	–	幂级数表达式
\(R = \lim \left\|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right\|\)	极限存在	\(R\): 收敛半径	求幂级数收敛半径
\(e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)	–	函数展开/求极限
\(\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)	–	函数展开/求极限
\(\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)	–	函数展开/求极限
\(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}\)	\(-1 < x \leq 1\)	–	函数展开
\(\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}\)	\(\|x\| \leq 1\)	–	函数展开
\(\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n\)	\(\|x\| < 1\)	–	几何级数
\((1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n\)	\(\|x\|<1\)（若\(k\notin\mathbb{N}\)）	\(\binom{k}{n}\): 广义二项式系数	二项式级数
\(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\)	\(f\) 在 \([a,x]\) 上 \(n+1\) 阶可导	\(c\): \(a\) 与 \(x\) 之间的数	Taylor余项估计
\(\|R_n(x)\| \leq \frac{M}{(n+1)!}\|x-a\|^{n+1}\)	\(\|f^{(n+1)}(t)\| \leq M\)	\(M\): 导数的上界	Lagrange误差界

A.2 第11章：参数方程与极坐标

公式	使用条件	字母含义	适用问题
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)	\(dx/dt \neq 0\)	\(t\): 参数	参数曲线切线斜率
\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(dy/dx)/dt}{dx/dt}\)	\(dx/dt \neq 0\)	–	参数曲线凹凸性
\(L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\,dt\)	光滑曲线, 不自交	\(\alpha,\beta\): 参数区间	参数曲线弧长
\(S = \int 2\pi y\,\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt\)	\(y \geq 0\)	–	绕x轴旋转面面积
\(x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta\)	无	\(r,\theta\): 极坐标	极坐标转直角坐标
\(r^2 = x^2 + y^2,\; \tan\theta = y/x\)	\(x \neq 0\)	–	直角坐标转极坐标
\(A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta\)	曲线不自交	\(\alpha,\beta\): 角度区间	极坐标面积
\(A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}(r_{\text{外}}^2-r_{\text{内}}^2)d\theta\)	\(r_{\text{外}} \geq r_{\text{内}}\)	–	两曲线之间的面积
\(L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2}\,d\theta\)	光滑曲线	–	极坐标弧长
\(\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}\)	分母 \(\neq 0\)	\(r' = dr/d\theta\)	极坐标切线斜率
\(r = \frac{ed}{1\pm e\cos\theta}\)	焦点在极点	\(e\): 离心率, \(d\): 焦点到准线距离	圆锥曲线极坐标方程

A.3 第12章：向量与空间几何

公式	使用条件	字母含义	适用问题
\(\|\overrightarrow{PQ}\| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)	无	\(P_1,P_2\): 两点	空间距离
\(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta\)	无	\(\theta\): 两向量夹角	求夹角
\(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 0 \iff \mathbf{u}\perp\mathbf{v}\)	非零向量	–	正交判断
\(\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2}\mathbf{v}\)	\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)	–	向量投影
\(\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}\)	三维向量	–	叉积计算
\(\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\sin\theta\)	无	–	平行四边形面积
\(\text{Area}_{\triangle} = \frac{1}{2}\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|\)	无	–	三角形面积
\((\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = \begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}\)	三维向量	–	平行六面体体积
\(\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}\)	\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)	\(t\): 参数	空间直线方程
\(\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}\)	\(a,b,c \neq 0\)	–	直线对称方程
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)	\(\mathbf{n} = \langle A,B,C\rangle\)	–	平面方程
\(d = \frac{\|Ax_1+By_1+Cz_1-D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)	平面: \(Ax+By+Cz=D\)	\(d\): 距离	点到平面距离
\(d = \frac{\|\overrightarrow{PS}\times\mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|}\)	\(\mathbf{v}\): 方向向量	\(d\): 距离	点到直线距离
\(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2\|}{\|\mathbf{n}_1\|\|\mathbf{n}_2\|}\right)\)	\(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\): 两平面法向量	\(\theta\): 锐角	两平面夹角

A.4 第13章：向量值函数与空间运动

公式	使用条件	字母含义	适用问题
\(\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle\)	\(f,g,h\) 可微	–	向量函数求导
\(\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}\)	\(\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0}\)	–	单位切线向量
\(L = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\|\,dt\)	光滑曲线	–	空间曲线弧长
\(\kappa = \frac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|^3}\)	\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)	\(\kappa\): 曲率, \(\mathbf{v}\): 速度, \(\mathbf{a}\): 加速度	空间曲线曲率
\(\kappa = \frac{\|y''\|}{(1+(y')^2)^{3/2}}\)	\(y=f(x)\) 二阶可导	–	平面曲线曲率
\(\rho = 1/\kappa\)	\(\kappa \neq 0\)	\(\rho\): 曲率半径	密切圆半径
\(\mathbf{N} = \frac{\mathbf{T}'}{\|\mathbf{T}'\|}\)	\(\mathbf{T}' \neq \mathbf{0}\)	–	主单位法向量
\(\mathbf{B} = \mathbf{T}\times\mathbf{N} = \frac{\mathbf{v}\times\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}\)	\(\mathbf{v}\times\mathbf{a} \neq \mathbf{0}\)	–	副法向量
\(\tau = \frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^2}\)	分母 \(\neq 0\)	\(\tau\): 挠率	空间曲线挠率
\(\mathbf{a} = a_T\mathbf{T} + a_N\mathbf{N}\)	\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)	\(a_T\): 切向分量, \(a_N\): 法向分量	加速度分解
\(a_T = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|}\)	\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)	–	切向加速度
\(a_N = \frac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|}\)	\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)	–	法向加速度
\(R = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}\)	理想抛体运动	\(v_0\): 初速率, \(\alpha\): 发射角, \(g\): 重力加速度	抛体射程
\(y_{\max} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}\)	理想抛体运动	–	抛体最大高度

A.5 第14章：偏导数

公式	使用条件	字母含义	适用问题
\(f_x = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\)	极限存在	–	偏导数定义
\(\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\)	\(f\) 可微, \(x,y\) 可微	–	链式法则(情况1)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\)	\(f\) 可微, \(u,v\) 可微	–	链式法则(情况2)
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\)	\(F_y \neq 0\), \(F(x,y)=0\)	–	隐函数求导
\(\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}\)	\(F_z \neq 0\), \(F(x,y,z)=0\)	–	隐函数求偏导
\(\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle\)	\(f\) 可微	–	梯度
\(D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}\)	\(\mathbf{u}\) 为单位向量	–	方向导数
\(\max D_{\mathbf{u}}f = \|\nabla f\|\)	\(\mathbf{u} = \nabla f/\|\nabla f\|\)	–	最大增长率
\(z-z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)	\(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微	–	切平面方程
\(L(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)	\(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 可微	–	线性化/线性近似
\(dz = f_x dx + f_y dy\)	\(f\) 可微	–	全微分
\(D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2\)	\(f\) 二阶可微	\(D\): Hessian行列式	二阶导数检验(无条件极值)
\(\nabla f = \lambda \nabla g\)	\(f,g\) 可微, \(\nabla g \neq \mathbf{0}\)	\(\lambda\): Lagrange乘数	Lagrange乘数法(条件极值)
\(\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h\)	\(f,g,h\) 可微	\(\lambda,\mu\): 乘数	双约束条件极值
\(f_{xy} = f_{yx}\)	\(f_{xy}, f_{yx}\) 连续	–	Clairaut定理
\(\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1\)	\(F(x,y,z)=0\), 各偏导存在	–	约束变量循环关系

A.6 第15章：多重积分

公式	使用条件	字母含义	适用问题
\(\iint_R f\,dA = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx\)	\(f\) 在矩形 \(R\) 上连续	\(R=[a,b]\times[c,d]\)	矩形区域二重积分
\(\iint_D f\,dA = \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx\)	Type I 区域	\(g_1,g_2\): 上下边界函数	Type I 二重积分
\(\iint_D f\,dA = \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\,dy\)	Type II 区域	\(h_1,h_2\): 左右边界函数	Type II 二重积分
\(A = \iint_D dA\)	无	–	求面积
\(V = \iiint_D dV\)	无	–	求体积
\(\iint_D f\,dA = \iint f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\)	极坐标变换	\(r\): 径向距离, \(\theta\): 角度	极坐标二重积分
\(m = \iint_D \delta\,dA\)	\(\delta\): 面密度函数	\(m\): 总质量	质量计算
\(\bar{x} = \frac{1}{m}\iint_D x\delta\,dA\)	\(m \neq 0\)	\(\bar{x},\bar{y}\): 质心坐标	质心计算
\(I_x = \iint_D y^2\delta\,dA\)	–	\(I_x\): 绕x轴转动惯量	转动惯量
\(A = \iint_D \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA\)	\(f\) 可微	–	曲面面积
\(\iiint_D f\,dV = \iiint f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,dz\,dr\,d\theta\)	柱坐标变换	\(r,\theta,z\): 柱坐标	柱坐标三重积分
\(\iiint_D f\,dV = \iiint f(\rho\sin\phi\cos\theta,\ldots)\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)	球坐标变换	\(\rho,\phi,\theta\): 球坐标	球坐标三重积分
\(\iint_D f\,dx\,dy = \iint_{D'} f\cdot \|J\|\,du\,dv\)	变量替换	\(J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\)	二重积分变量替换
\(J(u,v) = \begin{vmatrix}x_u & x_v \\ y_u & y_v\end{vmatrix}\)	–	–	Jacobian 行列式
\(J_{\text{极}} = r\)	极坐标	–	极坐标 Jacobian
\(J_{\text{球}} = \rho^2\sin\phi\)	球坐标	–	球坐标 Jacobian

A.7 第16章：向量场中的积分

公式	使用条件	字母含义	适用问题
\(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)	单连通区域	\(\mathbf{F}=\langle P,Q\rangle\)	二维保守场判别
\(\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\)	单连通区域	\(\mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle\)	三维保守场判别
\(\nabla\cdot\mathbf{F} = P_x+Q_y+R_z\)	无	–	散度计算
\(\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|dt\)	曲线光滑	\(ds\): 弧长微元	标量线积分
\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt\)	曲线光滑	–	向量线积分(做功)
\(\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B)-f(A)\)	\(\mathbf{F}=\nabla f\)	\(A,B\): 起点,终点	线积分基本定理(FTLI)
\(\oint_C Pdx+Qdy = \iint_R (Q_x-P_y)dA\)	\(C\) 正向闭合简单曲线	–	Green 定理(环量形式)
\(\text{Flux} = \oint_C Pdy-Qdx = \iint_R (P_x+Q_y)dA\)	\(C\) 正向闭合简单曲线	–	Green 定理(通量形式)
\(\text{Flux} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \int_C Pdy-Qdx\)	二维	\(\mathbf{n}\): 向外单位法向量	二维通量
\(A = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx)\)	\(C\) 正向闭合	–	Green 面积公式
\(dS = \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,du\,dv\)	曲面光滑	–	曲面积微元(参数)
\(dS = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy\)	\(z=f(x,y)\) 可微	–	曲面积微元(显式)
\(\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)du\,dv\)	曲面光滑	\(d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS\): 有向面元	曲面积分(通量)
\(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS\)	\(C\) 为 \(S\) 边界, 正定向	–	Stokes 定理
\(\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_D \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV\)	\(S\) 闭合, \(\mathbf{n}\) 向外	–	散度定理(Gauss)
\(\nabla\times(\nabla f) = \mathbf{0}\)	无	–	梯度无旋恒等式
\(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0\)	无	–	旋度无散恒等式

附录 B：高频考点总表

期末考点（按考频排序）

排序	考点名称	考频	分值范围	出现年份	所属章节	关键技巧
1	二重积分交换积分次序	3年3考·必考	8-12分	2022, 2023, 2024	Ch15	画积分区域 → 重新描述 → 改写积分限
2	条件极值(Lagrange乘数法)	3年3考·必考	8-10分	2022, 2023, 2024	Ch14	\(\nabla f = \lambda \nabla g\), 分情况讨论
3	偏导数+链式法则	3年3考·必考	8-12分	2022, 2023, 2024	Ch14	树形图法, 代入已知值
4	通量(Flux)计算	3年3考·必考	8-10分	2022, 2023, 2024	Ch16	Green通量形式或直接曲面积分
5	切平面与法线	3年2考·高频	6-8分	2022, 2024	Ch14	\(z-z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)
6	无条件极值(Hessian判别)	3年2考·高频	8-10分	2023, 2024	Ch14	求\(f_x,f_y=0\) → 计算\(D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\)
7	曲线积分与做功	3年2考·高频	6-10分	2022, 2023	Ch16	直接参数化或FTLI(若保守)
8	三重积分坐标变换(柱/球)	3年2考·高频	8-12分	2023, 2024	Ch15	柱:\(dV=r\,dz\,dr\,d\theta\); 球:\(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)
9	Green定理	3年2考·高频	6-8分	2022, 2023	Ch16	\(\oint Pdx+Qdy = \iint(Q_x-P_y)dA\)
10	极坐标二重积分	3年2考·高频	6-8分	2023, 2024	Ch15	\(dA=r\,dr\,d\theta\), 确定\(r\)和\(\theta\)的范围
11	Stokes定理	2年1考	6-8分	2023	Ch16	曲面上的旋度通量 = 边界上的环量
12	散度定理(Gauss)	2年1考	6-8分	2022	Ch16	\(\iint\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV\)
13	方向导数与梯度	2年1考	4-6分	2024	Ch14	\(D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}\)
14	二重积分的应用(质心/质量)	2年1考	4-6分	2022	Ch15	\(\bar{x} = M_y/m\), 利用对称性简化
15	换元法与Jacobian	2年1考	4-6分	2023	Ch15	\(J = \begin{vmatrix}x_u & x_v \\ y_u & y_v\end{vmatrix}\), 取绝对值

期中考点

排序	考点名称	考频	分值范围	所属章节	关键技巧
1	级数敛散性判别	期中核心	40分	Ch10	按步骤: nth-term → 特殊类型 → 正项判别 → 交错 → 绝对/条件
2	幂级数展开与求和	期中核心	20分	Ch10	熟记6个基本Maclaurin展开, 通过代换/逐项微积分推导新展开
3	极坐标面积与弧长	期中核心	20分	Ch11	\(A=\frac{1}{2}\int r^2d\theta\), \(L=\int\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}d\theta\)
4	空间平面方程/夹角	期中核心	20分	Ch12	\(\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0\), 法向量叉积求\(\mathbf{n}\)

按章节看分值分布

章节	期中分值	期末分值	总重要性
Ch10 级数	60分	–	期中核心（但期末中可能通过级数判别出选择题/填空题）
Ch11 极坐标	20分	–	期中重点
Ch12 空间几何	20分	基础工具	期中重点，期末必备基础
Ch13 向量函数	次要	基础工具(5分)	曲率公式是常考点
Ch14 偏导数	–	38-50分	期末最重要章节
Ch15 多重积分	–	30-40分	期末分值最高
Ch16 向量场积分	–	20-25分	期末压轴，定理选择是难点

附录 C：资料下载链接

教材与PPT资料

资料	路径/来源
教材	Thomas’ Calculus, 12th Edition (Pearson, 2010)
各章节PDF	`E:\Calculus II\` 目录下
课堂PPT	`E:\Calculus II\` 目录下
历年期末考试真题 (2022-2025)	`E:\Calculus II\` 目录下

源文件说明

本文档整合了以下章节独立笔记：

calc2-chapter10-study-notes.md – 第10章无穷序列与级数
calc2-ch11-parametric-polar-notes.md – 第11章参数方程与极坐标
calc2-chapter12-vectors-geometry-space.md – 第12章向量与空间几何
calc2-chapter13-vector-functions-notes.md – 第13章向量值函数与空间运动
Chapter14-Partial-Derivatives-Study-Notes.md – 第14章偏导数
calc2-chapter15-multiple-integrals.md – 第15章多重积分
calc2-ch16-integration-in-vector-fields.md – 第16章向量场中的积分

复习建议：
期中阶段：集中精力攻克第10章级数判别法（比重最大），熟记6个基本Maclaurin展开，掌握极坐标面积公式和空间平面方程。
期末阶段：按分值优先级复习。Ch14(偏导数+极值) > Ch15(多重积分) > Ch16(定理)。其中二重积分交换次序和Lagrange乘数法是每年必考，绝对不能失分。
考前冲刺：重点回顾附录B中的高频考点总表，确保每个必考题型的解题步骤了然于心。Ch16的定理选择决策树是区分高分的关键。
常见错误提醒：极坐标/柱坐标积分不要忘记 \(r\) 因子！球坐标不要忘记 \(\rho^2\sin\phi\) 因子！交换积分次序前一定要画图！Lagrange乘数法不要漏掉 \(\lambda\)！

本文基于 Thomas’ Calculus 教材、课堂PPT、以及2022-2025年期末考试真题综合整理

学习笔记

#微积分 #Calculus #数学 #期末复习 #笔记

Calculus II 复习总览

https://brightnewmoon.top/2026/06/06/Calculus-II-Review/

作者

BrightNewMoon

发布于

2026年6月6日

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