Calculus II 复习总览

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前言

本文是 Calculus II（Thomas’ Calculus）的完整复习总览，覆盖第 10 章至第 16 章的全部核心内容。笔记整合了教材、课堂 PPT 以及 2022-2025 年历年期末考试真题的考点分析。

文中以 【考点】 标注考试高频/必考题型，并注明出现频率（如【3年3考·必考】、【3年2考·高频】、【期中核心·40分】等），帮助你按优先级分配复习时间。

考试结构速览：

考试	核心内容	分数权重
期中	Ch10 级数 (40分) + Ch10 幂级数 (20分) + Ch11 极坐标面积弧长 (20分) + Ch12 空间平面方程/夹角 (20分)	100分
期末 Q1	Ch14 偏导数与微分	20-25分
期末 Q2	Ch14 极值应用 (无条件极值 + Lagrange乘数法)	18-25分
期末 Q3	Ch15 多重积分	30-40分
期末 Q4	Ch16 向量场积分	20-25分

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知识脉络总览

章节关联图

flowchart TD
    Ch10["Ch10 无穷序列与级数"] --> Ch11["Ch11 参数方程与极坐标"]
    Ch11 --> Ch13["Ch13 向量值函数与空间运动"]
    Ch10 --> Ch14["Ch14 偏导数"]
    Ch12["Ch12 向量与空间几何"] --> Ch13
    Ch12 --> Ch14
    Ch12 --> Ch15["Ch15 多重积分"]
    Ch14 --> Ch15
    Ch14 --> Ch16["Ch16 向量场中的积分"]
    Ch15 --> Ch16
    Ch12 --> Ch16
    Ch13 --> Ch16

各章节定位

章节	核心主题	在知识体系中的角色
Ch10 无穷序列与级数	序列极限、级数敛散性、幂级数、Taylor展开	函数近似与表示的理论基础，期中考试核心
Ch11 参数方程与极坐标	参数曲线微积分、极坐标面积与弧长、圆锥曲线	曲线描述的替代方法，平面上的微积分工具
Ch12 向量与空间几何	点积/叉积、直线平面方程、二次曲面、柱/球坐标	三维空间的基础语言，后续所有章节的前提
Ch13 向量值函数	曲线运动、曲率挠率、TNB标架、抛体运动	空间中曲线运动的完整描述
Ch14 偏导数	偏导数、链式法则、梯度、切平面、极值、Lagrange乘数法	一元微积分向多元的推广，期末考试 Q1+Q2
Ch15 多重积分	二重/三重积分、坐标变换、Jacobian、质心/转动惯量	多元积分学，期末考试 Q3（分值最大）
Ch16 向量场积分	线积分、曲面积分、Green/Stokes/散度定理	多元微积分的顶峰与统一，期末考试 Q4

核心思维链

一元微积分 → 无穷级数近似 (Ch10) → 多元函数微分 (Ch14) → 多元函数积分 (Ch15) → 向量场统一理论 (Ch16)

工具链：向量空间几何 (Ch12) → 向量值函数/曲线 (Ch13) → 方向导数/梯度 (Ch14) → 线积分/曲面积分 (Ch16)

坐标链：直角坐标 → 极坐标 (Ch11) → 柱坐标 (Ch12/15) → 球坐标 (Ch12/15) → Jacobian一般变换 (Ch15)

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第十章：无穷序列与级数 (Infinite Sequences and Series)

【期中核心】 本章占期中考试约 60 分（级数判别 40 分 + 幂级数 20 分），是期中的绝对重点。

10.1 序列 (Sequences)

基本定义

序列 (Sequence): 定义在正整数集上的函数，记作 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$，$a_n$ 称为通项 (general term)。

序列的极限 (Limit of a Sequence): 如果对于任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - L| < \varepsilon$，则称序列收敛于极限 $L$：

$$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$

如果极限不存在（包括趋于无穷大、无穷小、或振荡不收敛），则称序列发散 (diverges)。

有界序列 (Bounded Sequence):

• 如果存在实数 $M$，使得对所有 $n$，有 $a_n \leq M$，则序列上有界 (bounded above)。
• 如果存在实数 $m$，使得对所有 $n$，有 $a_n \geq m$，则序列下有界 (bounded below)。
• 如果序列既上有界又下有界，则称其有界 (bounded)。

单调序列 (Monotonic Sequence):

• 如果对所有 $n$，$a_n \leq a_{n+1}$，则序列单调递增 (nondecreasing/increasing)。
• 如果对所有 $n$，$a_n \geq a_{n+1}$，则序列单调递减 (nonincreasing/decreasing)。

重要定理

定理 1 – 单调有界定理 (Monotonic Bounded Theorem):
如果一个序列是单调的且有界，则该序列收敛。具体来说：单调递增 + 上有界 $\Rightarrow$ 收敛；单调递减 + 下有界 $\Rightarrow$ 收敛。

定理 2 – 夹逼定理 (Squeeze Theorem for Sequences):
若对所有 $n \geq n_0$，有 $a_n \leq b_n \leq c_n$，且 $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L$，则 $\lim_{n\to\infty} b_n = L$。

定理 3 – 函数的极限与序列的极限:
如果 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$，且 $f(n) = a_n$ 对所有正整数 $n$ 成立，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$。这使我们能够使用 L’Hopital 法则计算序列的极限。

定理 4 – 连续函数与序列极限:
若序列 $\{a_n\}$ 收敛于 $L$，且函数 $f$ 在 $x = L$ 处连续，则 $\lim_{n\to\infty} f(a_n) = f(L)$。

定理 5 – 极限的四则运算:
若 $\lim a_n = A$ 且 $\lim b_n = B$（均收敛），则：

• $\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B$
• $\lim (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
• 若 $B \neq 0$，$\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$
• $\lim (c \cdot a_n) = c \cdot A$

常见序列极限

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0$$

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$$

$$\lim_{n\to\infty} x^{1/n} = 1 \quad (x > 0)$$

$$\lim_{n\to\infty} x^n = 0 \quad (|x| < 1)$$

$$\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x$$

$$\lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{n!} = 0 \quad (\text{对任意 } x)$$

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10.2 无穷级数 (Infinite Series)

定义

无穷级数: 给定序列 $\{a_n\}$，无穷级数是其项的和：

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$$

部分和序列 (Sequence of Partial Sums):

$$s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$

如果部分和序列 $\{s_n\}$ 收敛于有限极限 $S$，则称无穷级数收敛于和 $S$。如果 $\{s_n\}$ 发散，则级数发散。

级数的余项 (Remainder):

$$R_n = S - s_n = a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k$$

几何级数 (Geometric Series)

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$$

部分和公式：$s_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, \quad r \neq 1$

• 若 $|r| < 1$，级数收敛，和为 $\displaystyle \frac{a}{1-r}$
• 若 $|r| \geq 1$，级数发散

常用形式：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1 - r}, \quad |r| < 1$

伸缩级数 (Telescoping Series)

部分和可以通过相互抵消简化。典型形式：$\sum (b_n - b_{n+1})$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1$$

一般方法：使用部分分式分解 (partial fraction decomposition)，写出前几项，观察抵消模式。

发散判别法 (nth-Term Test for Divergence)

【考点·基础】 这是判断发散的第一步筛查。

如果 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$（或者极限不存在），则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散。

注意： 如果 $\lim a_n = 0$，此判别法不能得出结论——级数可能收敛也可能发散（如调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 满足 $a_n \to 0$ 但发散）。

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10.3 积分判别法 (The Integral Test) – 【期中核心·40分】

设 $\{a_n\}$ 为正项序列。如果存在一个定义在 $[1, \infty)$ 上的连续、正值、递减函数 $f(x)$，使得 $f(n) = a_n$ 对所有正整数 $n$ 成立，则级数和广义积分同敛散：

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{和} \quad \int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

条件总结：

1. $f(x)$ 在 $[1, \infty)$ 上连续
2. $f(x) > 0$（取正值）
3. $f(x)$ 递减（导数 $f'(x) < 0$）
4. $f(n) = a_n$

余项估计： 若级数收敛，则：

$$\int_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx \leq R_n \leq \int_n^{\infty} f(x)\,dx$$

p-级数 (p-Series) – 【期中核心·必考】

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

• 若 $p > 1$，则 p-级数收敛
• 若 $p \leq 1$，则 p-级数发散

特例 – 调和级数 (Harmonic Series)： $p = 1$ 时发散：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \quad \text{发散}$$

调和级数发散是微积分中最重要的"反直觉"结果之一：项趋于 0 但级数发散。

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10.4 比较判别法 (Comparison Tests) – 【期中核心·40分】

直接比较判别法 (Direct Comparison Test)

设 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 为正项级数，满足对所有 $n \geq N$ 有 $0 \leq a_n \leq b_n$。

• 如果 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛
• 如果 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum b_n$ 发散

极限比较判别法 (Limit Comparison Test)

设 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 为正项级数。考虑极限：

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c$$

• 如果 $0 < c < \infty$（$c$ 为有限正数），则两级数同敛散
• 如果 $c = 0$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛
• 如果 $c = \infty$ 且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散

使用策略：

1. 找出级数的主导项
2. 选择合适的比较级数（通常是 p-级数或几何级数）
3. 计算极限

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10.5 比值判别法与根值判别法 (Ratio and Root Tests) – 【期中核心·40分】

比值判别法 (Ratio Test)

设 $\sum a_n$ 为项级数。令：

$$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$$

• 如果 $\rho < 1$，则级数绝对收敛
• 如果 $\rho > 1$（或 $\rho = \infty$），则级数发散
• 如果 $\rho = 1$，判别法无结论

适用场景： 通项含有阶乘 ($n!$)、指数 ($a^n$、$r^n$)、或乘积项。

根值判别法 (Root Test)

设 $\sum a_n$ 为项级数。令：

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$$

• 如果 $\rho < 1$，则级数绝对收敛
• 如果 $\rho > 1$（或 $\rho = \infty$），则级数发散
• 如果 $\rho = 1$，判别法无结论

适用场景： 通项含有 $n$ 次幂（如 $a_n = (\cdots)^n$ 形式）。

有用的事实： $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$，$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!} = \infty$

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10.6 交错级数、绝对收敛与条件收敛 – 【期中核心】

交错级数判别法 (Alternating Series Test / Leibniz Test)

设级数具有形式 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n$（$b_n > 0$）。如果满足以下三个条件：

1. $b_n > 0$ 对所有 $n$
2. $\{b_n\}$ 是递减序列（即 $b_{n+1} \leq b_n$）
3. $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$

则交错级数收敛。

余项估计: $|R_n| \leq b_{n+1}$，即近似误差不超过第一个被省略的项的绝对值。

交错调和级数: $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$（条件收敛的经典例子）

绝对收敛 (Absolute Convergence)

级数 $\sum a_n$ 绝对收敛 如果 $\sum |a_n|$ 收敛。

定理: 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛。

条件收敛 (Conditional Convergence)

级数 $\sum a_n$ 条件收敛 如果它收敛但非绝对收敛（即 $\sum a_n$ 收敛而 $\sum |a_n|$ 发散）。

绝对收敛级数的重排定理：

• 如果 $\sum a_n$ 绝对收敛，则其任意重排均收敛于相同的和。
• 如果 $\sum a_n$ 条件收敛，则可通过重排使其收敛于任意实数（Riemann 重排定理）。

策略总结 – 判断级数收敛性的步骤

1. 检查第 n 项： $\lim a_n \neq 0$？则发散（nth-Term Test）。
2. 检查特殊类型：
   • 几何级数？$\sum ar^{n-1}$：$|r| < 1$ 收敛。
   • p-级数？$\sum 1/n^p$：$p > 1$ 收敛。
   • 伸缩级数？直接求部分和极限。
3. 检查正项级数：
   • 含阶乘或 $n$ 次幂？比值或根值判别法。
   • 含多项式和根号？极限比较判别法。
   • 通项可积？积分判别法。
4. 检查交错级数： 使用交错级数判别法。
5. 区分绝对/条件收敛。

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10.7 幂级数 (Power Series) – 【期中·20分】

定义

幂级数 (Power Series) 关于 $x = a$：

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n$$

其中 $a$ 称为幂级数的中心 (center)，$c_n$ 为系数 (coefficients)。

幂级数的收敛性

存在三种可能：

1. 仅在 $x = a$ 处收敛（半径 $R = 0$）
2. 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 收敛（半径 $R = \infty$）
3. 存在 $R > 0$，使得级数在 $|x - a| < R$ 时收敛，在 $|x - a| > R$ 时发散

收敛半径 (Radius of Convergence)

求法 1 – 使用比值判别法：

$$R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \quad \text{（若极限存在）}$$

求法 2 – 使用根值判别法：

$$R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \quad \text{（若极限存在）}$$

收敛区间 (Interval of Convergence): 端点的收敛性需要单独检验（代入原级数，使用判别法判断）。

逐项微分与逐项积分

定理： 若幂级数的收敛半径为 $R > 0$，则在区间 $(a-R, a+R)$ 内：

1. 逐项微分： $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n c_n (x-a)^{n-1}$，收敛半径也为 $R$。
2. 逐项积分： $\int f(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$，收敛半径也为 $R$。

幂级数在其收敛区间内部可以像多项式一样逐项微积分，且收敛半径保持不变。

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10.8 Taylor 级数与 Maclaurin 级数 (Taylor and Maclaurin Series) – 【期中·20分】

定义

Taylor 级数（在 $x = a$ 处）：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$$

Maclaurin 级数（$a = 0$）：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

重要 Maclaurin 级数（必须熟记） – 【期中考点·必背】

1. 指数函数 $e^x$：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, \quad R = \infty$$

2. 正弦函数 $\sin x$：

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \quad R = \infty$$

3. 余弦函数 $\cos x$：

$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots, \quad R = \infty$$

4. 自然对数 $\ln(1+x)$：

$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$$

5. 反正切 $\tan^{-1} x$（或 $\arctan x$）：

$$\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots, \quad -1 \leq x \leq 1$$

6. 二项式级数 $(1+x)^k$：

$$(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots$$

其中 $\binom{k}{n} = \frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}$。收敛区间：$|x| < 1$（若 $k$ 不是非负整数）。

7. 几何级数 $\frac{1}{1-x}$：

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$$

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10.9 Taylor 级数的收敛性 (Convergence of Taylor Series)

Taylor 定理与余项

Taylor 定理： 如果 $f$ 及其前 $n$ 阶导数在含 $a$ 和 $x$ 的区间上连续，且 $f^{(n+1)}$ 在该区间上存在，则：

$$f(x) = P_n(x) + R_n(x)$$

其中 $P_n(x)$ 为 $n$ 阶 Taylor 多项式，$R_n(x)$ 为余项。

Lagrange 形式的余项：

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1}$$

其中 $c$ 是 $a$ 与 $x$ 之间的某个数。

Lagrange 误差界 – 【考点】

如果对于 $a$ 与 $x$ 之间的所有 $t$，有 $|f^{(n+1)}(t)| \leq M$，则：

$$|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} |x - a|^{n+1}$$

要证明 Taylor 级数等于原函数，需证明 $\lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0$。

标准反例： $f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 的所有导数为 0，Maclaurin 级数为 0，但 $f(x) \neq 0$（当 $x \neq 0$）。

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10.10 二项式级数及其应用 (The Binomial Series and Applications)

二项式级数

对任意实数 $k$：

$$(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n$$

• 若 $k$ 为非负整数，级数为有限项（普通二项式定理）
• 若 $k$ 不是非负整数，级数在 $|x| < 1$ 时收敛

Taylor 级数的应用：

1. 数值近似计算： 用 Taylor 多项式近似定积分（如 $\int_0^1 e^{-x^2}dx$）
2. 求极限： 如 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$

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第十一章：参数方程与极坐标 (Parametric Equations and Polar Coordinates)

【期中·20分】 本章极坐标面积与弧长是期中必考内容。

11.1 参数化与平面曲线

参数方程用一个参数 $t$ 来描述曲线上点的坐标：

$$x = f(t), \quad y = g(t), \quad t \in I$$

常见参数化：

曲线	参数方程
直线	$x = x_0 + at,\quad y = y_0 + bt$
圆	$x = h + R\cos t,\quad y = k + R\sin t$
椭圆	$x = h + a\cos t,\quad y = k + b\sin t$
摆线 (Cycloid)	$x = a(t - \sin t),\quad y = a(1 - \cos t)$

消去参数的三种方法：

1. 从一个方程解出 $t$，代入另一个方程
2. 利用三角恒等式（如 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$）
3. 代数处理

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11.2 参数曲线的微积分 (Calculus with Parametric Curves) – 【考点】

一阶导数（切线斜率）

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$$

• 如果 $dx/dt = 0$ 且 $dy/dt \neq 0$，则切线是垂直的
• 如果 $dy/dt = 0$ 且 $dx/dt \neq 0$，则切线是水平的

二阶导数

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$

注意：$\frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$！

参数曲线的弧长

$$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\; dt$$

旋转曲面的表面积

绕 $x$ 轴旋转（$y \geq 0$）：

$$S = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\; dt$$

绕 $y$ 轴旋转（$x \geq 0$）：

$$S = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi x \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\; dt$$

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11.3 极坐标 (Polar Coordinates)

极坐标由 $(r, \theta)$ 确定：

• $r$：从极点（原点）到该点的有向距离
• $\theta$：从极轴（正 $x$ 轴）逆时针测量的角度

转换公式：

$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$

$$r^2 = x^2 + y^2, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}$$

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11.4 极坐标中的图形绘制

对称性测试：

对称类型	测试条件
关于 $x$ 轴	$(r, -\theta)$ 或 $(-r, \pi-\theta)$
关于 $y$ 轴	$(r, \pi-\theta)$ 或 $(-r, -\theta)$
关于极点	$(-r, \theta)$ 或 $(r, \theta+\pi)$

常见极坐标曲线：

曲线	方程	特征
心形线 (Cardioid)	$r = a(1 \pm \cos\theta)$ 或 $r = a(1 \pm \sin\theta)$	心形，一个尖端
蜗线 (Limaçon)	$r = a \pm b\cos\theta$ 或 $r = a \pm b\sin\theta$	取决于 $a/b$ 比值
玫瑰线 (Rose)	$r = a\cos(n\theta)$ 或 $r = a\sin(n\theta)$	$n$ 奇数：$n$ 瓣；$n$ 偶数：$2n$ 瓣
双纽线 (Lemniscate)	$r^2 = a^2\cos(2\theta)$ 或 $r^2 = a^2\sin(2\theta)$	8 字形
阿基米德螺旋线	$r = a\theta$	螺旋，间距均匀

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11.5 极坐标中的面积与弧长 – 【期中·20分】

极坐标面积 – 【考点】核心公式

$$\boxed{A = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} r^2\; d\theta = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2\; d\theta}$$

两条极坐标曲线之间的面积：

$$A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \left([f(\theta)]^2 - [g(\theta)]^2\right) d\theta$$

其中 $f(\theta) \geq g(\theta) \geq 0$（$f$ 是外曲线，$g$ 是内曲线）。

经典例题 – 心形线面积： $r = a(1 + \cos\theta)$

$$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2(1 + \cos\theta)^2\,d\theta = \frac{3}{2}\pi a^2$$

极坐标弧长

$$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\; d\theta$$

极坐标切线斜率

$$\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}, \quad r' = \frac{dr}{d\theta}$$

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11.6 圆锥曲线 (Conic Sections)

焦点-准线定义： 圆锥曲线是平面内到定点 $F$（焦点）与到定直线 $L$（准线）距离之比为定值 $e$（离心率）的点的轨迹：

$$\frac{PF}{PD} = e$$

离心率	类型	标准形式
$e = 0$	圆 (Circle)	$x^2 + y^2 = a^2$
$0 < e < 1$	椭圆 (Ellipse)	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, $c^2 = a^2 - b^2$
$e = 1$	抛物线 (Parabola)	$y^2 = 4px$, 焦点 $(p, 0)$
$e > 1$	双曲线 (Hyperbola)	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, $c^2 = a^2 + b^2$

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11.7 极坐标中的圆锥曲线 – 【考点】

统一极坐标方程：

$$r = \frac{ed}{1 \pm e\cos\theta} \quad \text{或} \quad r = \frac{ed}{1 \pm e\sin\theta}$$

根据 $e$ 分类：

• $e < 1$：椭圆
• $e = 1$：抛物线
• $e > 1$：双曲线

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第十二章：向量与空间几何 (Vectors and Geometry of Space)

【期中·20分】 空间平面方程与夹角是期中重点。本章也是 Ch13-16 的 3D 基础。

12.1 三维坐标系

右手坐标系： 右手手指从正 x 轴弯向正 y 轴时，拇指指向正 z 轴。

距离公式：

$$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

球面方程： 以 $(x_0, y_0, z_0)$ 为球心、$a$ 为半径：

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = a^2$$

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12.2 向量 (Vectors)

分量形式： $\overrightarrow{PQ} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle$

向量大小： $|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

运算：

• 加法：$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \langle u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3 \rangle$
• 标量乘法：$k\mathbf{u} = \langle ku_1, ku_2, ku_3 \rangle$

标准基向量： $\mathbf{i} = \langle 1, 0, 0 \rangle$, $\mathbf{j} = \langle 0, 1, 0 \rangle$, $\mathbf{k} = \langle 0, 0, 1 \rangle$

单位向量： $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$

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12.3 点积 (The Dot Product) – 【考点】

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$$

角度公式：

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta, \quad \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}\right)$$

正交条件： $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$

向量投影：

$$\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\right)\mathbf{v}$$

标量分量： $|\mathbf{u}|\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$

功 (Work)： $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{D} = |\mathbf{F}||\mathbf{D}|\cos\theta$

方向余弦： $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

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12.4 叉积 (The Cross Product) – 【考点】

$$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$

展开：

$$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3 - u_3v_2)\mathbf{i} - (u_1v_3 - u_3v_1)\mathbf{j} + (u_1v_2 - u_2v_1)\mathbf{k}$$

性质：

• 反交换律：$\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})$
• 平行条件：$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0} \iff \mathbf{u} \parallel \mathbf{v}$
• 标准基：$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}, \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$

几何意义： $|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta$ 等于以 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 为邻边的平行四边形面积。

三角形面积： $\text{Area} = \frac{1}{2}|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|$

三重标量积（体积）：

$$(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

$|(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}|$ = 平行六面体体积，四面体体积 = $\frac{1}{6}|(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}|$

力矩 (Torque)： $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$

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12.5 空间中的直线和平面 (Lines and Planes in Space) – 【期中·20分】

空间直线的方程

设直线过 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 且平行于 $\mathbf{v} = \langle a, b, c \rangle$。

向量方程： $\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$

参数方程： $x = x_0 + at,\; y = y_0 + bt,\; z = z_0 + ct$

对称方程： $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$（$a,b,c$ 均不为 0）

空间平面方程 – 【期中·20分·必考】

平面由一个点和一个法向量 (normal vector) 确定。

向量方程： $\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0$

分量方程： $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

简化形式： $Ax + By + Cz = D$，其中法向量 $\mathbf{n} = \langle A, B, C \rangle$

由三点求平面： $\mathbf{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$

点到平面的距离

$$d = \frac{|\overrightarrow{PS} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

两平面的夹角

$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}\right)$$

• 平行平面：$\mathbf{n}_1 = k\mathbf{n}_2$
• 垂直平面：$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 0$

两平面交线

交线的方向向量 = 两平面法向量的叉积：$\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$

点到直线的距离

$$d = \frac{|\overrightarrow{PS} \times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}$$

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12.6 柱面和二次曲面 (Cylinders and Quadric Surfaces) – 【考点】

二次曲面快速判定表

标准形式	类型
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	椭球面 (Ellipsoid)
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}$	椭圆抛物面 (Elliptic Paraboloid)
$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=\frac{z}{c}$	双曲抛物面 / 马鞍面 (Hyperbolic Paraboloid)
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$	椭圆锥面 (Elliptic Cone)
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	单叶双曲面 (Hyperboloid of One Sheet)
$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	双叶双曲面 (Hyperboloid of Two Sheets)

记忆技巧（观察符号和常数）：

• 所有项为正 + 右边 = 1 $\to$ 椭球面
• 两个平方项 + 一个一次项 $\to$ 抛物面
• 一个负号 $\to$ 鞍面（双曲抛物面）
• 两个正 + 一个负 + 右边 = 1 $\to$ 单叶双曲面
• 一个正 + 两个负 + 右边 = 1 $\to$ 双叶双曲面
• 只有平方项 + 右边 = 0 $\to$ 锥面

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柱坐标系 (Cylindrical Coordinates) – 【考点·Ch15基础】

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z$$

$$r^2 = x^2 + y^2,\quad \tan\theta = \frac{y}{x}$$

体积元： $dV = r \; dz \; dr \; d\theta$

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球坐标系 (Spherical Coordinates) – 【考点·Ch15基础】

$$x = \rho\sin\phi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\phi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\phi$$

其中 $\rho \geq 0$，$0 \leq \phi \leq \pi$，$0 \leq \theta < 2\pi$。

体积元： $dV = \rho^2 \sin\phi \; d\rho \; d\phi \; d\theta$

与柱坐标的关系： $r = \rho\sin\phi$，$z = \rho\cos\phi$

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第十三章：向量值函数与空间运动 (Vector-Valued Functions and Motion in Space)

13.1 空间曲线及其切线

向量值函数定义：

$$\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\,\mathbf{i} + g(t)\,\mathbf{j} + h(t)\,\mathbf{k}$$

导数： $\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle$

单位切线向量： $\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}$

光滑曲线： $\mathbf{r}'(t)$ 连续且 $\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0}$。

常数长度的向量函数性质： 如果 $|\mathbf{r}(t)| = c$，则 $\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}'(t) = 0$。

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13.2 积分与抛体运动 (Projectile Motion) – 【考点】

理想抛体运动

从原点发射，初速率 $v_0$，角度 $\alpha$：

位置：

$$x(t) = (v_0\cos\alpha)\,t, \quad y(t) = (v_0\sin\alpha)\,t - \frac{1}{2}gt^2$$

轨迹方程（Cartesian Equation）：

$$y = (\tan\alpha)\,x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2$$

关键量：

量	公式
飞行时间	$t_f = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$
射程 (Range)	$R = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$
最大高度	$y_{\max} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}$

最大射程： $\alpha = 45^\circ$ 时，$R_{\max} = \frac{v_0^2}{g}$

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13.3 空间曲线的弧长 (Arc Length in Space)

$$L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt = \int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [h'(t)]^2}\,dt$$

弧长微分： $ds = |\mathbf{r}'(t)|\,dt$

速率： $\text{Speed} = |\mathbf{v}(t)| = \frac{ds}{dt}$

弧长参数化性质： $\left|\frac{d\mathbf{r}}{ds}\right| = 1$，$\frac{d\mathbf{r}}{ds} = \mathbf{T}$

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13.4 曲率与曲线的法向量 (Curvature and Normal Vector) – 【考点】

曲率定义

$$\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|$$

最重要公式： $\kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3} = \frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|^3}$ – 【考点·核心】

平面曲线 $y = f(x)$：

$$\kappa(x) = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$$

曲率半径： $\rho = \frac{1}{\kappa}$

主单位法向量 (Principal Unit Normal)

$$\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}$$

也可用叉积公式：$\mathbf{N} = \frac{(\mathbf{v} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{v}}{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|\,|\mathbf{v}|}$

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13.5 加速度的切向与法向分量 – 【考点】

$$\mathbf{a} = a_T\,\mathbf{T} + a_N\,\mathbf{N}$$

分量	公式1	公式2
$a_T$	$\frac{d|\mathbf{v}|}{dt}$	$\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|}$
$a_N$	$\kappa|\mathbf{v}|^2$	$\frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|}$

• $a_T$：反映速率大小的变化（加速/减速）
• $a_N$：反映运动方向的改变（转弯）
• $a_N = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 - a_T^2}$，$a_T^2 + a_N^2 = |\mathbf{a}|^2$

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13.6 挠率与副法向量 (Torsion and the Binormal Vector) – 【TNB标架·考点】

Frenet 标架 (TNB Frame)

向量	名称	定义
$\mathbf{T}$	单位切线向量	$\mathbf{T} = \frac{\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}'|}$
$\mathbf{N}$	主单位法向量	$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{T}'}{|\mathbf{T}'|}$
$\mathbf{B}$	副法向量	$\mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N} = \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{a}}{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}$

挠率 (Torsion)

$$\tau = \frac{(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2}$$

• $\tau = 0$：平面曲线
• $\tau > 0$：右手螺旋方向扭转

Frenet-Serret 公式

$$\frac{d\mathbf{T}}{ds} = \kappa \mathbf{N}, \quad \frac{d\mathbf{N}}{ds} = -\kappa \mathbf{T} + \tau \mathbf{B}, \quad \frac{d\mathbf{B}}{ds} = -\tau \mathbf{N}$$

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第十四章：偏导数 (Partial Derivatives)

【期末 Q1+Q2·共38-50分】 偏导数计算、链式法则、极值是考试重点。

14.1 多元函数 (Functions of Several Variables)

二元函数 $z = f(x, y)$ 的图形是三维空间中的一张曲面。

等高线 (Level Curves)： 方程 $f(x, y) = k$ 定义的曲线。等高线密集意味着曲面陡峭；稀疏意味着平缓。

等值面 (Level Surfaces)： 三元函数 $f(x, y, z) = k$ 定义的曲面（如 $x^2 + y^2 + z^2 = k$ 是同心球面）。

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14.2 高维空间中的极限与连续性

关键区别： 在二元微积分中，$(x, y)$ 可以从无穷多个方向和路径趋近 $(x_0, y_0)$。只有当沿着所有可能的路径极限都相同，极限才存在。

两路径检验法 (Two-Path Test)： 如果沿两条不同路径趋近得到不同的极限，则极限不存在 (DNE)。

经典例题： $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$

• 路径 $y = 0$：极限 $= 0$
• 路径 $y = x$：极限 $= \frac{1}{2}$
• 两个不同极限 $\implies$ DNE

极坐标法（证明极限存在）： 令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，若 $r \to 0$ 时结果与 $\theta$ 无关，则极限存在。

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14.3 偏导数 (Partial Derivatives) – 【3年3考·必考】

定义

$$f_x(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}$$

$$f_y(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}$$

求导规则： 求 $f_x$ 时把 $y$ 视为常数，求 $f_y$ 时把 $x$ 视为常数。

高阶偏导数：

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{yx}$$

Clairaut 定理： 如果 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 连续，则 $f_{xy} = f_{yx}$。

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14.4 链式法则 (The Chain Rule) – 【3年3考·必考】

情况一：$z = f(x, y)$，$x = g(t)$，$y = h(t)$

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

情况二：$z = f(u, v)$，$u = g(x, y)$，$v = h(x, y)$

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

隐函数求导

情形一： $F(x, y) = 0$ 将 $y$ 隐式定义为 $x$ 的函数：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

情形二： $F(x, y, z) = 0$ 将 $z$ 隐式定义为 $x, y$ 的函数：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

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14.5 方向导数与梯度向量 (Directional Derivatives and Gradient)

梯度

$$\nabla f(x, y) = \langle f_x, f_y \rangle, \quad \nabla f(x, y, z) = \langle f_x, f_y, f_z \rangle$$

方向导数

沿单位向量 $\mathbf{u}$ 的方向导数：

$$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f| \cos\theta$$

关键性质：

• $\nabla f$ 指向 $f$ 增加最快的方向
• 最大增长率 = $|\nabla f|$
• $\nabla f$ 垂直于等高线（当 $\nabla f \neq \mathbf{0}$ 时）

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14.6 切平面与微分 (Tangent Planes and Differentials) – 【3年2考·高频】

切平面方程

曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面：

$$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$

法向量：$\mathbf{n} = \langle f_x, f_y, -1 \rangle$

线性化 (Linearization)

$$L(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$

切平面 $z = L(x, y)$ 就是 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处的标准线性近似。

全微分 (Total Differential)

$$dz = f_x\,dx + f_y\,dy = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$

误差估计： $\Delta z \approx dz = \frac{\partial z}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$

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14.7 极值与鞍点 (Extreme Values and Saddle Points) – 【3年2考·高频】

无条件极值 – Hessian 判别法

临界点：$f_x(a, b) = 0$ 且 $f_y(a, b) = 0$（即 $\nabla f = \mathbf{0}$）

二阶导数检验 (Second Derivative Test)： 计算 Hessian 行列式：

$$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$$

$D$	$f_{xx}$	结论
$D > 0$	$f_{xx} > 0$	局部极小值 (Local Minimum)
$D > 0$	$f_{xx} < 0$	局部极大值 (Local Maximum)
$D < 0$	–	鞍点 (Saddle Point)
$D = 0$	–	不确定 (Inconclusive)

经典鞍点函数： $f(x, y) = x^2 - y^2$ 在 $(0, 0)$ 处。

闭有界区域上的绝对极值

1. 求区域内部的临界点
2. 求 $f$ 在区域边界上的极值（参数化边界，转化为一元函数问题）
3. 比较所有候选值，最大者为绝对最大值，最小者为绝对最小值

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14.8 Lagrange 乘数法 (Lagrange Multipliers) – 【3年3考·必考】

条件极值 — 单个约束

求 $f(x, y)$ 在约束 $g(x, y) = k$ 下的极值，求解方程组：

$$\nabla f = \lambda \nabla g, \quad g(x, y) = k$$

即：

$$f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x, y) = k$$

几何意义： 在最优点处，$f$ 的等高线与约束曲线 $g = k$ 相切，即 $\nabla f \parallel \nabla g$。

三个变量的情况

对于 $f(x, y, z)$ 受约束 $g(x, y, z) = k$：

$$f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad f_z = \lambda g_z, \quad g = k$$

多个约束

$$\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h$$

典型应用问题：

1. 最大化/最小化面积、体积、距离
2. 点到平面的最短距离
3. 经济学中的效用最大化（Maximize $U(x, y)$ subject to $p_1x + p_2y = I$）

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14.9 二元函数的泰勒公式 (Taylor’s Formula for Two Variables)

一阶近似（线性化）：

$$f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$$

二阶 Taylor 多项式：

$$f(a+h, b+k) \approx f(a,b) + hf_x + kf_y + \frac{1}{2}(h^2f_{xx} + 2hkf_{xy} + k^2f_{yy})$$

紧凑形式（算子记号）：

$$f(a+h, b+k) = \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!}\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(a, b) + R_n$$

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14.10 带约束变量的偏导数

关键恒等式（热力学中有用）：

$$\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z \cdot \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x \cdot \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1$$

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第十五章：多重积分 (Multiple Integrals)

【期末 Q3·30-40分】 多重积分是期末分值最大的章节。二重积分交换次序每年必考。

15.1-15.2 二重积分 (Double Integrals) – 【3年3考·必考·最重要】

矩形区域上的二重积分 (Fubini 定理)

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$$

一般区域 – 【考点·交换积分次序】

Type I 区域（垂直简单区域）：

$$D = \{(x,y) \mid a \leq x \leq b,\; g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$$

$$\iint_D f(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{x=b} \int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$

Type II 区域（水平简单区域）：

$$D = \{(x,y) \mid c \leq y \leq d,\; h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$$

$$\iint_D f(x,y)\,dA = \int_{y=c}^{y=d} \int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$$

交换积分次序 – 【3年3考·必考】

经典例子：$\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$

先积 $y$ 时 $e^{y^2}$ 无初等原函数，但交换次序后：

$$\int_0^1 \int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y e^{y^2}\,dy = \frac{1}{2}(e-1)$$

步骤：

1. 从原积分限画出积分区域
2. 将区域重新描述为另一种 Type
3. 写出新的积分限

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15.3 用二重积分求面积

$$A = \iint_D 1\,dA = \iint_D dA$$

在极坐标下：$A = \iint_D r\,dr\,d\theta$

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15.4 极坐标下的二重积分

极坐标变换

$$x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta$$

$$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\; r\,dr\,d\theta$$

适合使用极坐标的情况：

• 积分区域是圆形、环形、扇形
• 被积函数含有 $x^2 + y^2$
• 积分限在直角坐标下复杂但在极坐标下变为常数

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15.5-15.6 二重积分的应用：质量、矩、质心

质量： $m = \iint_D \delta(x,y)\,dA$

一阶矩：

$$M_x = \iint_D y\,\delta(x,y)\,dA, \quad M_y = \iint_D x\,\delta(x,y)\,dA$$

质心：

$$\bar{x} = \frac{M_y}{m}, \quad \bar{y} = \frac{M_x}{m}$$

转动惯量：

$$I_x = \iint_D y^2\,\delta\,dA, \quad I_y = \iint_D x^2\,\delta\,dA, \quad I_O = I_x + I_y$$

曲面积分求表面积

$$A = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\; dA$$

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15.7 直角坐标下的三重积分

对于长方形盒子 $[a,b] \times [c,d] \times [p,q]$：

$$\iiint_D f\,dV = \int_a^b \int_c^d \int_p^q f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx$$

六种可能的积分次序： $dz\,dy\,dx$, $dz\,dx\,dy$, $dy\,dz\,dx$, $dy\,dx\,dz$, $dx\,dy\,dz$, $dx\,dz\,dy$

用三重积分求体积： $V = \iiint_D 1\,dV$

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15.8 柱坐标下的三重积分 – 【3年2考·高频】

$$x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta,\quad z = z,\quad dV = r\,dz\,dr\,d\theta$$

$$\iiint_D f\,dV = \int_{\theta=\alpha}^{\beta} \int_{r=g_1(\theta)}^{g_2(\theta)} \int_{z=u_1(r,\theta)}^{u_2(r,\theta)} f\; r\,dz\,dr\,d\theta$$

适合使用柱坐标的情况：

• 积分区域关于 $z$ 轴具有旋转对称性
• 被积函数含有 $x^2 + y^2$
• 区域在 $xy$ 平面的投影是圆形或扇形

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15.9 球坐标下的三重积分 – 【3年2考·高频】

$$x = \rho\sin\phi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\phi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\phi$$

$$dV = \rho^2 \sin\phi\; d\rho\,d\phi\,d\theta$$

$$\iiint_D f\,dV = \int_{\theta=\alpha}^{\beta} \int_{\phi=\phi_1}^{\phi_2} \int_{\rho=g_1}^{g_2} f\; \rho^2\sin\phi\; d\rho\,d\phi\,d\theta$$

适合使用球坐标的情况：

• 积分区域是球体、球壳、球冠、锥体
• 被积函数含有 $x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2$

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15.10 变量替换与 Jacobian – 【考点】

二重积分的变量替换

$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v))\; |J(u,v)|\; du\,dv$$

其中 Jacobian：

$$J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}$$

三重积分的 Jacobian

$$J(u,v,w) = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{vmatrix}$$

常见坐标变换的 Jacobian

变换	$J$
极坐标 $(r,\theta)$	$J = r$
柱坐标 $(r,\theta,z)$	$J = r$
球坐标 $(\rho,\phi,\theta)$	$J = \rho^2 \sin\phi$

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第十六章：向量场中的积分 (Integration in Vector Fields)

【期末 Q4·20-25分】 三大定理（Green, Stokes, 散度定理）是本章核心。

16.1 向量场 (Vector Fields)

二维向量场： $\mathbf{F}(x, y) = \langle M(x, y), N(x, y) \rangle$

三维向量场： $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle M, N, P \rangle$

梯度场与势函数

如果存在标量函数 $f$ 使得 $\mathbf{F} = \nabla f$，则称 $\mathbf{F}$ 为梯度场（保守场），$f$ 称为势函数。

保守场判别法

二维判别法： $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

三维判别法 – 旋度判别 (Curl Test)：

$$\text{curl}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ M & N & P \end{vmatrix}$$

保守场的充要条件（在单连通区域上）：$\text{curl}\,\mathbf{F} = \mathbf{0}$

重要： curl test 仅在单连通区域上才是充分的。

求势函数的方法： 逐次积分，从 $f_x = M$ 开始。

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16.2 标量函数的线积分 (Line Integrals of Scalar Functions)

$$\int_C f(x,y,z)\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt$$

其中 $ds = |\mathbf{r}'(t)|\,dt = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2}\,dt$

物理意义：

• 线的质量：$M = \int_C \delta(x,y,z)\,ds$
• 曲线的弧长：$\int_C 1\,ds = \text{弧长}$

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16.3 向量场的线积分 (Line Integrals of Vector Fields) – 【3年2考·高频】

做功 (Work) – 【3年2考·高频】

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt$$

分量形式：

$$\int_C M\,dx + N\,dy + P\,dz = \int_a^b \left[ M\frac{dx}{dt} + N\frac{dy}{dt} + P\frac{dz}{dt} \right] dt$$

环量 (Circulation)： 闭合回路的线积分 $\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

方向依赖性： $\int_{-C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

通量 (Flux Across a Plane Curve) – 【3年3考·必考】

在二维中，向量场穿过曲线 $C$ 的通量：

$$\text{Flux} = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds = \int_C M\,dy - N\,dx$$

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16.4 路径无关性与线积分基本定理 (Fundamental Theorem for Line Integrals)

路径无关性 (Path Independence)

以下条件在连通区域上等价：

1. $\mathbf{F}$ 是保守场（$\mathbf{F} = \nabla f$）
2. $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 路径无关
3. 沿任意闭合路径的积分为零：$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$
4. $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ (2D) 或 $\text{curl}\,\mathbf{F} = \mathbf{0}$ (3D)

线积分基本定理 (FTLI)

若 $\mathbf{F} = \nabla f$，则：

$$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)$$

经典反例： $\mathbf{F} = \langle \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \rangle$ 在去掉原点的平面上满足 $\partial M/\partial y = \partial N/\partial x$，但绕原点的闭合路径积分不为零（等于 $2\pi$）。

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16.5 Green 定理 (Green’s Theorem) – 【3年2考·高频】

环量形式 (Circulation Form / Tangential Form)

$$\oint_C M\,dx + N\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dA$$

通量形式 (Flux Form / Divergence Form)

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds = \iint_R \left( \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} \right) dA = \iint_R \text{div}\,\mathbf{F}\,dA$$

即：

$$\oint_C M\,dy - N\,dx = \iint_R \left( \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} \right) dA$$

用 Green 定理求面积

$$A = \frac{1}{2} \oint_C (x\,dy - y\,dx)$$

应用条件：

1. $C$ 是闭合曲线
2. $C$ 是简单曲线（不自交）
3. $C$ 取正向（逆时针，区域在左侧）
4. $C$ 分段光滑
5. $M, N$ 及其偏导数在包含 $R$ 的区域上连续

带洞区域： 外边界取正向（逆时针），内边界取反向（顺时针）。

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16.6 曲面与曲面积 (Surfaces and Area) – 【考点·基础】

曲面的参数化

曲面	参数化
平面 $z = f(x,y)$	$\mathbf{r}(x,y) = \langle x, y, f(x,y) \rangle$
球面 $x^2+y^2+z^2 = a^2$	$\mathbf{r}(\phi,\theta) = \langle a\sin\phi\cos\theta, a\sin\phi\sin\theta, a\cos\phi \rangle$
柱面 $x^2+y^2 = a^2$	$\mathbf{r}(\theta, z) = \langle a\cos\theta, a\sin\theta, z \rangle$

曲面积微元

参数曲面： $dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv$

显式曲面 $z = f(x,y)$： $dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dx\,dy$

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16.7 曲面积分 (Surface Integrals)

标量函数的曲面积分

$$\iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v))\,|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\,du\,dv$$

向量场的曲面积分 – 通量 (Flux) – 【3年3考·必考】

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv$$

显式曲面 $z = g(x,y)$ 取向上法向量：

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D \left[ -M\frac{\partial g}{\partial x} - N\frac{\partial g}{\partial y} + P \right] dx\,dy$$

物理意义：

• 若 $\mathbf{F}$ 是流速场，通量 = 流体穿过曲面的净体积流率
• 若 $\mathbf{F}$ 是电场，通量与高斯定律有关

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16.8 Stokes 定理 (Stokes’ Theorem)

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\text{curl}\,\mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$

正向规则（右手法则）： 沿 $C$ 的正方向行走，头指向曲面法向量方向，曲面在左侧。

Green 定理是 Stokes 定理的特例： 取 $S$ 为 $xy$-平面上的区域，$\mathbf{n} = \mathbf{k}$。

Stokes 定理推论：

• 若 $\mathbf{F}$ 保守（$\text{curl}\,\mathbf{F} = \mathbf{0}$），则 $\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$
• 闭合曲面上旋度的通量为零

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16.9 散度定理 – 高斯定理 (Divergence Theorem / Gauss’s Theorem)

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_D \text{div}\,\mathbf{F}\,dV = \iiint_D \nabla \cdot \mathbf{F}\,dV$$

散度： $\text{div}\,\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} + \frac{\partial P}{\partial z}$

• $\text{div}\,\mathbf{F} > 0$：该点为"源"（source）
• $\text{div}\,\mathbf{F} < 0$：该点为"汇"（sink）
• $\text{div}\,\mathbf{F} = 0$：无源场（solenoidal / divergence-free）

应用前提：

1. 曲面 $S$ 必须是闭合的
2. $\mathbf{F}$ 的分量及偏导数在区域内连续
3. 法向量取向外方向

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16.10 统一理论 – 三大定理的关系

所有定理都是微积分基本定理 (FTC) 在不同维度下的推广：

定理	维度	公式
FTC	1D	$\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$
FTLI	1D $\to$ 2D/3D	$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A)$
Green	2D	$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_R (N_x - M_y) dA$
Stokes	2D/3D	$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS$
Gauss	3D	$\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_D \nabla \cdot \mathbf{F}\,dV$

共同模式： 区域边界上的积分 = 区域内部某种"导数"的积分。

三个关键算子：

1. 梯度 (Gradient)： 标量 $\to$ 向量，$\nabla f = \langle f_x, f_y, f_z \rangle$
2. 旋度 (Curl)： 向量 $\to$ 向量，$\nabla \times \mathbf{F}$
3. 散度 (Divergence)： 向量 $\to$ 标量，$\nabla \cdot \mathbf{F}$

两个重要恒等式：

• $\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$（梯度场无旋）
• $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$（旋度场无散）

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16.11 定理选择决策树 (Theorem Selection Decision Tree) – 【考点·非常重要】

给定一个积分问题：

1. 是线积分吗 (Line Integral)?
   ├─ 标量函数 f (不是向量场)
   │  └─ 直接参数化 C，∫ f(r(t))|r'(t)|dt
   │
   ├─ 向量场 F，非闭合路径
   │  ├─ F 保守吗？→ 是 → 用 FTLI：求 f，算 f(B)-f(A)
   │  └─ 否 → 直接参数化并积分
   │
   └─ 向量场 F，闭合路径 (∮)
      ├─ 是 2D 问题吗？
      │  └─ 是 → Green 定理：∮Mdx+Ndy = ∬(N_x-M_y)dA
      │         └─ 也可考虑 通量形式：∮Mdy-Ndx = ∬(M_x+N_y)dA
      │
      └─ 是 3D 问题吗？
         └─ 可找到以 C 为边界的曲面 S 吗？
            └─ 是 → Stokes 定理：∮F·dr = ∬(curl F)·n dS

2. 是曲面积分吗 (Surface Integral)?
   ├─ 标量函数 f
   │  └─ 参数化曲面，∬ f(r(u,v))|r_u×r_v| du dv
   │
   └─ 向量场 F（通量）
      ├─ 曲面是闭合的吗？
      │  ├─ 是 → 散度定理 (Gauss)：∬F·n dS = ∭ div F dV
      │  └─ 否 → 直接参数化或投影法
      │
      └─ 被积函数是 curl F 吗？
         └─ 是 → 考虑用 Stokes 定理转为边界线积分

3. 需要算面积吗？
   └─ 平面区域：A = ½∮(x dy - y dx)（Green 定理面积公式）

记忆口诀：

• “梯度$\to$保守$\to$路径无关$\to$基本定理”
• “Green 在平面，Stokes 在空间”
• “旋度过面等于环量绕线”（Stokes 定理）
• “散度过体等于通量绕面”（散度定理）
• “闭合路径 $\to$ 想 Green/Stokes；闭合曲面 $\to$ 想 Gauss”

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附录 A：公式总表

A.1 第10章：无穷序列与无穷级数

公式	使用条件	字母含义	适用问题
$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} = 0$	无	–	序列极限
$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$	无	–	序列极限
$\lim_{n\to\infty} \frac{x^n}{n!} = 0$	任意 $x$	–	序列极限
$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$	$|r| < 1$	$a$: 首项, $r$: 公比	几何级数求和
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$	$p>1$ 收敛, $p\leq 1$ 发散	$p$: 幂指数	p-级数敛散
$\sum a_n$ 同敛散于 $\int_1^{\infty} f(x)dx$	$f(x)$ 正/连续/递减, $f(n)=a_n$	–	积分判别法
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c$ ($0<c<\infty$)	$a_n,b_n > 0$	$c$: 极限值	极限比较判别法
$\rho = \lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$	任意项级数	$\rho$: 比值极限	比值判别法
$\rho = \lim \sqrt[n]{|a_n|}$	任意项级数	$\rho$: 根值极限	根值判别法
$\sum (-1)^{n-1}b_n$ 收敛	$b_n>0$, $b_n\searrow$, $b_n\to 0$	$b_n$: 正项绝对值	交错级数判别法
$|R_n| \leq b_{n+1}$	交错级数判别法条件满足	$R_n$: 余项	交错级数误差估计
$\sum c_n (x-a)^n$	$c_n$ 为系数, $a$ 为中心	–	幂级数表达式
$R = \lim \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$	极限存在	$R$: 收敛半径	求幂级数收敛半径
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$	$\forall x \in \mathbb{R}$	–	函数展开/求极限
$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\forall x \in \mathbb{R}$	–	函数展开/求极限
$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$	$\forall x \in \mathbb{R}$	–	函数展开/求极限
$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$	$-1 < x \leq 1$	–	函数展开
$\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$	$|x| \leq 1$	–	函数展开
$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$	$|x| < 1$	–	几何级数
$(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n$	$|x|<1$（若$k\notin\mathbb{N}$）	$\binom{k}{n}$: 广义二项式系数	二项式级数
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$	$f$ 在 $[a,x]$ 上 $n+1$ 阶可导	$c$: $a$ 与 $x$ 之间的数	Taylor余项估计
$|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$	$|f^{(n+1)}(t)| \leq M$	$M$: 导数的上界	Lagrange误差界

A.2 第11章：参数方程与极坐标

公式	使用条件	字母含义	适用问题
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$	$dx/dt \neq 0$	$t$: 参数	参数曲线切线斜率
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(dy/dx)/dt}{dx/dt}$	$dx/dt \neq 0$	–	参数曲线凹凸性
$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}\,dt$	光滑曲线, 不自交	$\alpha,\beta$: 参数区间	参数曲线弧长
$S = \int 2\pi y\,\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt$	$y \geq 0$	–	绕x轴旋转面面积
$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$	无	$r,\theta$: 极坐标	极坐标转直角坐标
$r^2 = x^2 + y^2,\; \tan\theta = y/x$	$x \neq 0$	–	直角坐标转极坐标
$A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$	曲线不自交	$\alpha,\beta$: 角度区间	极坐标面积
$A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}(r_{\text{外}}^2-r_{\text{内}}^2)d\theta$	$r_{\text{外}} \geq r_{\text{内}}$	–	两曲线之间的面积
$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2}\,d\theta$	光滑曲线	–	极坐标弧长
$\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}$	分母 $\neq 0$	$r' = dr/d\theta$	极坐标切线斜率
$r = \frac{ed}{1\pm e\cos\theta}$	焦点在极点	$e$: 离心率, $d$: 焦点到准线距离	圆锥曲线极坐标方程

A.3 第12章：向量与空间几何

公式	使用条件	字母含义	适用问题
$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$	无	$P_1,P_2$: 两点	空间距离
$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$	无	$\theta$: 两向量夹角	求夹角
$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 0 \iff \mathbf{u}\perp\mathbf{v}$	非零向量	–	正交判断
$\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\mathbf{v}$	$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$	–	向量投影
$\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$	三维向量	–	叉积计算
$|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta$	无	–	平行四边形面积
$\text{Area}_{\triangle} = \frac{1}{2}|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|$	无	–	三角形面积
$(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = \begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}$	三维向量	–	平行六面体体积
$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$	$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$	$t$: 参数	空间直线方程
$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$	$a,b,c \neq 0$	–	直线对称方程
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$	$\mathbf{n} = \langle A,B,C\rangle$	–	平面方程
$d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	平面: $Ax+By+Cz=D$	$d$: 距离	点到平面距离
$d = \frac{|\overrightarrow{PS}\times\mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}$	$\mathbf{v}$: 方向向量	$d$: 距离	点到直线距离
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}\right)$	$\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2$: 两平面法向量	$\theta$: 锐角	两平面夹角

A.4 第13章：向量值函数与空间运动

公式	使用条件	字母含义	适用问题
$\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle$	$f,g,h$ 可微	–	向量函数求导
$\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}$	$\mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0}$	–	单位切线向量
$L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt$	光滑曲线	–	空间曲线弧长
$\kappa = \frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|^3}$	$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$	$\kappa$: 曲率, $\mathbf{v}$: 速度, $\mathbf{a}$: 加速度	空间曲线曲率
$\kappa = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}$	$y=f(x)$ 二阶可导	–	平面曲线曲率
$\rho = 1/\kappa$	$\kappa \neq 0$	$\rho$: 曲率半径	密切圆半径
$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{T}'}{|\mathbf{T}'|}$	$\mathbf{T}' \neq \mathbf{0}$	–	主单位法向量
$\mathbf{B} = \mathbf{T}\times\mathbf{N} = \frac{\mathbf{v}\times\mathbf{a}}{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}$	$\mathbf{v}\times\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$	–	副法向量
$\tau = \frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|^2}$	分母 $\neq 0$	$\tau$: 挠率	空间曲线挠率
$\mathbf{a} = a_T\mathbf{T} + a_N\mathbf{N}$	$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$	$a_T$: 切向分量, $a_N$: 法向分量	加速度分解
$a_T = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|}$	$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$	–	切向加速度
$a_N = \frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|}$	$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$	–	法向加速度
$R = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$	理想抛体运动	$v_0$: 初速率, $\alpha$: 发射角, $g$: 重力加速度	抛体射程
$y_{\max} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}$	理想抛体运动	–	抛体最大高度

A.5 第14章：偏导数

公式	使用条件	字母含义	适用问题
$f_x = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$	极限存在	–	偏导数定义
$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$	$f$ 可微, $x,y$ 可微	–	链式法则(情况1)
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$	$f$ 可微, $u,v$ 可微	–	链式法则(情况2)
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$	$F_y \neq 0$, $F(x,y)=0$	–	隐函数求导
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$	$F_z \neq 0$, $F(x,y,z)=0$	–	隐函数求偏导
$\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$	$f$ 可微	–	梯度
$D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$	$\mathbf{u}$ 为单位向量	–	方向导数
$\max D_{\mathbf{u}}f = |\nabla f|$	$\mathbf{u} = \nabla f/|\nabla f|$	–	最大增长率
$z-z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$	$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微	–	切平面方程
$L(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$	$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微	–	线性化/线性近似
$dz = f_x dx + f_y dy$	$f$ 可微	–	全微分
$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$	$f$ 二阶可微	$D$: Hessian行列式	二阶导数检验(无条件极值)
$\nabla f = \lambda \nabla g$	$f,g$ 可微, $\nabla g \neq \mathbf{0}$	$\lambda$: Lagrange乘数	Lagrange乘数法(条件极值)
$\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h$	$f,g,h$ 可微	$\lambda,\mu$: 乘数	双约束条件极值
$f_{xy} = f_{yx}$	$f_{xy}, f_{yx}$ 连续	–	Clairaut定理
$\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y = -1$	$F(x,y,z)=0$, 各偏导存在	–	约束变量循环关系

A.6 第15章：多重积分

公式	使用条件	字母含义	适用问题
$\iint_R f\,dA = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$	$f$ 在矩形 $R$ 上连续	$R=[a,b]\times[c,d]$	矩形区域二重积分
$\iint_D f\,dA = \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx$	Type I 区域	$g_1,g_2$: 上下边界函数	Type I 二重积分
$\iint_D f\,dA = \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\,dy$	Type II 区域	$h_1,h_2$: 左右边界函数	Type II 二重积分
$A = \iint_D dA$	无	–	求面积
$V = \iiint_D dV$	无	–	求体积
$\iint_D f\,dA = \iint f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$	极坐标变换	$r$: 径向距离, $\theta$: 角度	极坐标二重积分
$m = \iint_D \delta\,dA$	$\delta$: 面密度函数	$m$: 总质量	质量计算
$\bar{x} = \frac{1}{m}\iint_D x\delta\,dA$	$m \neq 0$	$\bar{x},\bar{y}$: 质心坐标	质心计算
$I_x = \iint_D y^2\delta\,dA$	–	$I_x$: 绕x轴转动惯量	转动惯量
$A = \iint_D \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA$	$f$ 可微	–	曲面面积
$\iiint_D f\,dV = \iiint f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,dz\,dr\,d\theta$	柱坐标变换	$r,\theta,z$: 柱坐标	柱坐标三重积分
$\iiint_D f\,dV = \iiint f(\rho\sin\phi\cos\theta,\ldots)\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$	球坐标变换	$\rho,\phi,\theta$: 球坐标	球坐标三重积分
$\iint_D f\,dx\,dy = \iint_{D'} f\cdot |J|\,du\,dv$	变量替换	$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$	二重积分变量替换
$J(u,v) = \begin{vmatrix}x_u & x_v \\ y_u & y_v\end{vmatrix}$	–	–	Jacobian 行列式
$J_{\text{极}} = r$	极坐标	–	极坐标 Jacobian
$J_{\text{球}} = \rho^2\sin\phi$	球坐标	–	球坐标 Jacobian

A.7 第16章：向量场中的积分

公式	使用条件	字母含义	适用问题
$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$	单连通区域	$\mathbf{F}=\langle M,N\rangle$	二维保守场判别
$\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$	单连通区域	$\mathbf{F}=\langle M,N,P\rangle$	三维保守场判别
$\nabla\cdot\mathbf{F} = M_x+N_y+P_z$	无	–	散度计算
$\int_C f\,ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t))|\mathbf{r}'(t)|dt$	曲线光滑	$ds$: 弧长微元	标量线积分
$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt$	曲线光滑	–	向量线积分(做功)
$\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(B)-f(A)$	$\mathbf{F}=\nabla f$	$A,B$: 起点,终点	线积分基本定理(FTLI)
$\oint_C Mdx+Ndy = \iint_R (N_x-M_y)dA$	$C$ 正向闭合简单曲线	–	Green 定理(环量形式)
$\text{Flux} = \oint_C Mdy-Ndx = \iint_R (M_x+N_y)dA$	$C$ 正向闭合简单曲线	–	Green 定理(通量形式)
$\text{Flux} = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \int_C Mdy-Ndx$	二维	$\mathbf{n}$: 向外单位法向量	二维通量
$A = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx)$	$C$ 正向闭合	–	Green 面积公式
$dS = |\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\,du\,dv$	曲面光滑	–	曲面积微元(参数)
$dS = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy$	$z=f(x,y)$ 可微	–	曲面积微元(显式)
$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)du\,dv$	曲面光滑	$d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS$: 有向面元	曲面积分(通量)
$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$	$C$ 为 $S$ 边界, 正定向	–	Stokes 定理
$\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_D \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$	$S$ 闭合, $\mathbf{n}$ 向外	–	散度定理(Gauss)
$\nabla\times(\nabla f) = \mathbf{0}$	无	–	梯度无旋恒等式
$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0$	无	–	旋度无散恒等式

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附录 B：高频考点总表

期末考点（按考频排序）

排序	考点名称	考频	分值范围	出现年份	所属章节	关键技巧
1	二重积分交换积分次序	3年3考·必考	8-12分	2022, 2023, 2024	Ch15	画积分区域 → 重新描述 → 改写积分限
2	条件极值(Lagrange乘数法)	3年3考·必考	8-10分	2022, 2023, 2024	Ch14	$\nabla f = \lambda \nabla g$, 分情况讨论
3	偏导数+链式法则	3年3考·必考	8-12分	2022, 2023, 2024	Ch14	树形图法, 代入已知值
4	通量(Flux)计算	3年3考·必考	8-10分	2022, 2023, 2024	Ch16	Green通量形式或直接曲面积分
5	切平面与法线	3年2考·高频	6-8分	2022, 2024	Ch14	$z-z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
6	无条件极值(Hessian判别)	3年2考·高频	8-10分	2023, 2024	Ch14	求$f_x,f_y=0$ → 计算$D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2$
7	曲线积分与做功	3年2考·高频	6-10分	2022, 2023	Ch16	直接参数化或FTLI(若保守)
8	三重积分坐标变换(柱/球)	3年2考·高频	8-12分	2023, 2024	Ch15	柱:$dV=r\,dz\,dr\,d\theta$; 球:$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$
9	Green定理	3年2考·高频	6-8分	2022, 2023	Ch16	$\oint Mdx+Ndy = \iint(N_x-M_y)dA$
10	极坐标二重积分	3年2考·高频	6-8分	2023, 2024	Ch15	$dA=r\,dr\,d\theta$, 确定$r$和$\theta$的范围
11	Stokes定理	2年1考	6-8分	2023	Ch16	曲面上的旋度通量 = 边界上的环量
12	散度定理(Gauss)	2年1考	6-8分	2022	Ch16	$\iint\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$
13	方向导数与梯度	2年1考	4-6分	2024	Ch14	$D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$
14	二重积分的应用(质心/质量)	2年1考	4-6分	2022	Ch15	$\bar{x} = M_y/m$, 利用对称性简化
15	换元法与Jacobian	2年1考	4-6分	2023	Ch15	$J = \begin{vmatrix}x_u & x_v \\ y_u & y_v\end{vmatrix}$, 取绝对值

期中考点

排序	考点名称	考频	分值范围	所属章节	关键技巧
1	级数敛散性判别	期中核心	40分	Ch10	按步骤: nth-term → 特殊类型 → 正项判别 → 交错 → 绝对/条件
2	幂级数展开与求和	期中核心	20分	Ch10	熟记6个基本Maclaurin展开, 通过代换/逐项微积分推导新展开
3	极坐标面积与弧长	期中核心	20分	Ch11	$A=\frac{1}{2}\int r^2d\theta$, $L=\int\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}d\theta$
4	空间平面方程/夹角	期中核心	20分	Ch12	$\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0$, 法向量叉积求$\mathbf{n}$

按章节看分值分布

章节	期中分值	期末分值	总重要性
Ch10 级数	60分	–	期中核心（但期末中可能通过级数判别出选择题/填空题）
Ch11 极坐标	20分	–	期中重点
Ch12 空间几何	20分	基础工具	期中重点，期末必备基础
Ch13 向量函数	次要	基础工具(5分)	曲率公式是常考点
Ch14 偏导数	–	38-50分	期末最重要章节
Ch15 多重积分	–	30-40分	期末分值最高
Ch16 向量场积分	–	20-25分	期末压轴，定理选择是难点

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附录 C：资料下载链接

教材与PPT资料

资料	路径/来源
教材	Thomas’ Calculus, 12th Edition (Pearson, 2010)
各章节PDF	E:\Calculus II\ 目录下
课堂PPT	E:\Calculus II\ 目录下
历年期末考试真题 (2022-2025)	E:\Calculus II\ 目录下

源文件说明

本文档整合了以下章节独立笔记：

• calc2-chapter10-study-notes.md – 第10章 无穷序列与级数
• calc2-ch11-parametric-polar-notes.md – 第11章 参数方程与极坐标
• calc2-chapter12-vectors-geometry-space.md – 第12章 向量与空间几何
• calc2-chapter13-vector-functions-notes.md – 第13章 向量值函数与空间运动
• Chapter14-Partial-Derivatives-Study-Notes.md – 第14章 偏导数
• calc2-chapter15-multiple-integrals.md – 第15章 多重积分
• calc2-ch16-integration-in-vector-fields.md – 第16章 向量场中的积分

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复习建议：

1. 期中阶段：集中精力攻克第10章级数判别法（比重最大），熟记6个基本Maclaurin展开，掌握极坐标面积公式和空间平面方程。
2. 期末阶段：按分值优先级复习。Ch14(偏导数+极值) > Ch15(多重积分) > Ch16(定理)。其中二重积分交换次序和Lagrange乘数法是每年必考，绝对不能失分。
3. 考前冲刺：重点回顾附录B中的高频考点总表，确保每个必考题型的解题步骤了然于心。Ch16的定理选择决策树是区分高分的关键。
4. 常见错误提醒：极坐标/柱坐标积分不要忘记 $r$ 因子！球坐标不要忘记 $\rho^2\sin\phi$ 因子！交换积分次序前一定要画图！Lagrange乘数法不要漏掉 $\lambda$！

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本文基于 Thomas’ Calculus 教材、课堂PPT、以及2022-2025年期末考试真题综合整理