线性代数复习总览

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前言：课程概览

教材： Linear Algebra and Its Applications, 5th Edition, David C. Lay（Pearson, 2016）

核心方法链： 线性方程组 → 矩阵代数 → 行列式 → 向量空间 → 特征值/对角化 → 正交性/最小二乘 → 对称矩阵/二次型

本课程覆盖教材第 1–7 章（不含应用章 §1.6, §1.10, §2.6-2.7, §4.8-4.9, §5.6-5.8, §6.6-6.8, §7.4-7.5，以及第 8-10 章）。考试以计算为主、证明为辅，选择题/判断题/讨论题混合出现。

第一章：线性方程组 (Linear Equations in Linear Algebra)

1.1 基本概念

线性方程（Linear Equation）： 形如 a1x1+a2x2+⋯+anxn=ba_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b，所有变量的次数为1。不包含 xyxy、sin⁡x\sin x、x2x^2 等非线性项。

线性方程组（Linear System）： mm 个方程、nn 个未知量的系统，记为 m×nm \times n 系统。

解的三种可能性：

  1. 无解（Inconsistent） — 阶梯形出现 [0 ⋯ 0 ∣ b][0\ \cdots\ 0\ |\ b]，b≠0b \neq 0
  2. 唯一解（Unique Solution） — 无自由变量，每列都是 pivot column
  3. 无穷多解（Infinitely Many Solutions） — 有自由变量

存在性与唯一性定理 (Theorem 2)： 线性方程组无解 当且仅当 增广矩阵的阶梯形包含行 [0 ⋯ 0 ∣ b][0\ \cdots\ 0\ |\ b] 且 b≠0b \neq 0。有解时，唯一解   ⟺  \iff 无自由变量。

1.2 矩阵记号与初等行变换 — 【核心技能】

系数矩阵 vs 增广矩阵：

[A∣b]=[1−21002−88−459−9][A | \mathbf{b}] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ -4 & 5 & 9 & -9 \end{array}\right]

三大初等行变换 (Elementary Row Operations)：

  1. 换行（Interchange） Ri↔RjR_i \leftrightarrow R_j
  2. 倍乘（Scaling） Ri→cRi (c≠0)R_i \rightarrow cR_i \ (c \neq 0)
  3. 倍加（Replacement） Ri→Ri+cRjR_i \rightarrow R_i + cR_j

初等行变换可逆且保解集。两个矩阵行等价（row equivalent）   ⟺  \iff 存在一系列初等行变换将一方变为另一方   ⟺  \iff 两方程组等价。

1.3 阶梯形 (Echelon Forms)

行阶梯形 (Row Echelon Form) 三大条件：

  1. 非零行在上，零行在下
  2. 每行的 leading entry (pivot) 严格位于上一行 pivot 的右边
  3. pivot 下方全为 0

简化行阶梯形 (Reduced Row Echelon Form, RREF) 附加条件：
4. 每个 pivot = 1
5. 每个 pivot 是其所在列的唯一非零元

Pivot 位置 (Pivot Position)： RREF 中 leading 1 对应的位置。Pivot 列 (Pivot Column)： 含 pivot 的列。

定理 1（RREF 的唯一性）： 每个矩阵行等价于唯一的简化行阶梯形矩阵。

行化简算法 (Row Reduction Algorithm)：

  1. 找到最左边的非零列 → 通过换行使该位置非零 → 这成为 pivot
  2. 用倍加使 pivot 下方全为零
  3. 忽略 pivot 所在行，对余下子矩阵重复
  4. 从最右边的 pivot 开始向左，使每个 pivot 上方也为零 → 得到 RREF

1.4 解线性方程组的标准流程 — 【期末 Q1 必考】

步骤：

  1. 写出增广矩阵
  2. 行化简到阶梯形 → 判断是否有解
  3. 继续化简到 RREF
  4. 写出对应方程，识别基本变量（basic variables）和自由变量（free variables）
  5. 用自由变量表达基本变量 → 参数向量形式 (parametric vector form)

工作示例（参考 2020 期中 Q1）：

求解：

{x1−x2+2x4+x5=03x1−3x2+7x4=0x1−x2+2x3+3x4+2x5=02x1−2x2+2x3+7x4−3x5=0\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_4 + x_5 = 0 \\ 3x_1 - 3x_2 + 7x_4 = 0 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 2x_5 = 0 \\ 2x_1 - 2x_2 + 2x_3 + 7x_4 - 3x_5 = 0 \end{cases}

写出增广矩阵→行化简→RREF→参数向量形式：

x=x2[11000]+x4[−10−210]+x5[−10−101]\mathbf{x} = x_2\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

1.5 向量方程与矩阵方程

向量 (Vector)： Rn\mathbb{R}^n 中的 n×1n \times 1 列矩阵。

向量运算（8 条代数性质）：

  • 交换律：u+v=v+u\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}
  • 结合律：(u+v)+w=u+(v+w)(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} = \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})
  • 零向量：u+0=u\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}
  • 加法逆元：u+(−u)=0\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}
  • 分配律：c(u+v)=cu+cvc(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}，(c+d)u=cu+du(c+d)\mathbf{u} = c\mathbf{u} + d\mathbf{u}
  • 结合律（数乘）：c(du)=(cd)uc(d\mathbf{u}) = (cd)\mathbf{u}
  • 单位乘法：1u=u1\mathbf{u} = \mathbf{u}

线性组合： c1v1+c2v2+⋯+cpvpc_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_p\mathbf{v}_p

张成 (Span)： Span{v1,…,vp}\text{Span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_p\} = 所有这些向量的所有线性组合的集合。

平行四边形法则 (Parallelogram Rule)： u+v\mathbf{u}+\mathbf{v} 对应以 0\mathbf{0}, u\mathbf{u}, v\mathbf{v} 为三顶点的平行四边形的第四个顶点。

矩阵方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}（定理 3）： 以下三者解集相同：

  1. Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}（矩阵方程）
  2. x1a1+⋯+xnan=bx_1\mathbf{a}_1 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n = \mathbf{b}（向量方程）
  3. 增广矩阵为 [A∣b][A|\mathbf{b}] 的线性方程组（标量方程）

Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 有解   ⟺  b∈Col A  ⟺  b\iff \mathbf{b} \in \text{Col } A \iff \mathbf{b} 是 AA 列向量的线性组合。

计算 AxA\mathbf{x} 的两种方式：

  • 列方法 (Column Picture)： Ax=x1a1+⋯+xnanA\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n
  • 行-向量法则 (Row-Vector Rule)： (Ax)i=∑j=1naijxj(A\mathbf{x})_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j

矩阵-向量乘法的性质： A(u+v)=Au+AvA(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v}，A(cu)=c(Au)A(c\mathbf{u}) = c(A\mathbf{u})

1.6 齐次系统与解的结构 — 【考点】

齐次系统 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}： 总有平凡解 x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}。若有非平凡解 → 无穷多解。

非齐次系统 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 的解结构：

x=p+xh\mathbf{x} = \mathbf{p} + \mathbf{x}_h

其中 p\mathbf{p} 是特解，xh\mathbf{x}_h 是对应齐次系统的通解。几何上：解集 = 过 p\mathbf{p} 且平行于 Nul A\text{Nul } A 的仿射子空间。

参数向量形式写法的关键步骤： 将自由变量的系数写成向量的线性组合。

1.7 线性无关 (Linear Independence) — 【3年2考】

{v1,…,vp}⊆Rn\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_p\} \subseteq \mathbb{R}^n 线性无关   ⟺  \iff 方程 c1v1+⋯+cpvp=0c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_p\mathbf{v}_p = \mathbf{0} 只有平凡解 ci=0c_i = 0。
否则线性相关。

判定方法：

  • 矩阵 [v1 ⋯ vp][\mathbf{v}_1 \ \cdots \ \mathbf{v}_p] 的每一列都是 pivot column → 向量组线性无关
  • 若 p>np > n（向量个数 > 维数）→ 必然线性相关
  • 若包含零向量 → 必然线性相关
  • 两向量线性相关   ⟺  \iff 一个为另一个的标量倍

1.8 线性变换 (Linear Transformation)

定义： T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m 是线性变换   ⟺  \iff

  1. T(u+v)=T(u)+T(v)T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
  2. T(cu)=cT(u)T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})

矩阵表示： 每个线性变换 TT 对应唯一的 m×nm \times n 矩阵 AA，使得 T(x)=AxT(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}。

A=[T(e1) T(e2) ⋯ T(en)]A = [T(\mathbf{e}_1) \ T(\mathbf{e}_2) \ \cdots \ T(\mathbf{e}_n)]

其中 ei\mathbf{e}_i 是标准基向量（单位矩阵的列）。

图解关系：

Rn→TRm\mathbb{R}^n \xrightarrow{T} \mathbb{R}^m

domaincodomain\text{domain} \quad\quad \text{codomain}

Range(T)=Col A⊆Rm\text{Range}(T) = \text{Col } A \subseteq \mathbb{R}^m

第二章：矩阵代数 (Matrix Algebra)

2.1 矩阵运算

运算条件核心性质
加法 A+BA+B同型 m×nm \times n交换：A+B=B+AA+B = B+A；结合：(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C = A+(B+C)
数乘 cAcA任意标量c(A+B)=cA+cBc(A+B) = cA + cB
乘法 ABABA:m×nA: m \times n, B:n×pB: n \times p不交换！ AB≠BAAB \neq BA
幂 AkA^kAA 为方阵AkAℓ=Ak+ℓA^k A^\ell = A^{k+\ell}
转置 ATA^T任意(AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T，(AT)T=A(A^T)^T = A

列-行展开： 若 A=[a1⋯an]A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix}，B=[b1T⋮bnT]B = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T \\ \vdots \\ \mathbf{b}_n^T \end{bmatrix}，则 AB=∑k=1nakbkTAB = \sum_{k=1}^n \mathbf{a}_k \mathbf{b}_k^T（外积之和）

2.2 逆矩阵 — 【高频】

定义： AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I

求逆算法： [A ∣ I]→行化简[I ∣ A−1][A \ |\ I] \xrightarrow{\text{行化简}} [I \ |\ A^{-1}]

常用公式：

  • (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  • (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
  • (cA)−1=1cA−1 (c≠0)(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1} \ (c \neq 0)
  • 若 AA 可逆且 AB=ACAB = AC，则 B=CB = C（左消去律）

2.3 可逆矩阵定理 (Invertible Matrix Theorem, IMT) — 【核心定理集】

以下命题对 n×nn \times n 方阵 AA 全部等价：

#命题含义
aAA 可逆存在 A−1A^{-1}
bAA 行等价于 InI_nRREF 是单位矩阵
cAA 有 nn 个 pivot 列每列都是 pivot column
dAx=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 只有平凡解Nul A={0}\text{Nul } A = \{\mathbf{0}\}
eAA 的列线性无关dim⁡Col A=n\dim \text{Col } A = n
fT(x)=AxT(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} 是一一映射单射
gAx=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 对任意 b\mathbf{b} 恰有一解满射
hAA 的列张成 Rn\mathbb{R}^nCol A=Rn\text{Col } A = \mathbb{R}^n
iATA^T 可逆(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
jdet⁡A≠0\det A \neq 0Ch3 加入
k00 不是 AA 的特征值Ch5 加入
lAA 的列构成 Rn\mathbb{R}^n 的基Ch4 加入
mrank A=n\text{rank } A = nCh4 加入
nCol A=Rn\text{Col } A = \mathbb{R}^ndim⁡Col A=n\dim \text{Col } A = n
odim⁡Nul A=0\dim \text{Nul } A = 0只有零空间

相关习题类型： 已知 A=PBP−1A = PBP^{-1}，求证 AA 可逆；已知 Ak=0A^k = 0，证 I−AI-A 可逆并求逆。

2.4 初等矩阵与 LU 分解

初等矩阵 (Elementary Matrix)： 单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。

  • 换行 Ri↔RjR_i \leftrightarrow R_j → EijE_{ij}（置换矩阵，det⁡=−1\det = -1）
  • 倍乘 Ri→cRiR_i \rightarrow cR_i → Ei(c)E_i(c)（det⁡=c\det = c）
  • 倍加 Ri→Ri+cRjR_i \rightarrow R_i + cR_j → Eij(c)E_{ij}(c)（det⁡=1\det = 1）

关键关系： 对 AA 做初等行变换 = 左乘相应的初等矩阵。所有初等矩阵均可逆。

工作示例（2015 期末）： 若 AA 经 “加 -3 倍 R1 到 R2” 再 “交换 R2 与 R3” 得到 UU，则 BA=UBA = U 中 B=E23⋅E12(−3)B = E_{23} \cdot E_{12}(-3)。

LU 分解： A=LUA = LU，其中 LL 是单位下三角矩阵（对角元素全为 1，存储各步倍加乘数），UU 是阶梯形。

A=[100ℓ2110ℓ31ℓ321][u11u12u130u22u2300u33]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \ell_{21} & 1 & 0 \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix}

2.5 分块矩阵与 Schur 补 — 【期中 Q5】

分块乘法： 若分块相容，则如同普通矩阵乘法。

[ABCD][XY]=[AX+BYCX+DY]\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AX + BY \\ CX + DY \end{bmatrix}

分块矩阵的逆（Schur 补公式）：

若 A=[BuuTc]A = \begin{bmatrix} B & \mathbf{u} \\ \mathbf{u}^T & c \end{bmatrix}，BB 可逆，d=c−uTB−1u≠0d = c - \mathbf{u}^T B^{-1} \mathbf{u} \neq 0，则：

A−1=[B−1+1dB−1uuTB−1−1dB−1u−1duTB−11d]A^{-1} = \begin{bmatrix} B^{-1} + \frac{1}{d}B^{-1}\mathbf{u}\mathbf{u}^T B^{-1} & -\frac{1}{d}B^{-1}\mathbf{u} \\ -\frac{1}{d}\mathbf{u}^T B^{-1} & \frac{1}{d} \end{bmatrix}

2.6 Householder 反射

定义： H=I−2xxTH = I - 2\mathbf{x}\mathbf{x}^T，其中 ∥x∥=1\|\mathbf{x}\| = 1。

性质：

  • HT=HH^T = H（对称）
  • HTH=H2=IH^T H = H^2 = I（正交）
  • det⁡H=−1\det H = -1

第三章：行列式 (Determinants) — 【期中/期末 各必考】

3.1 定义

余子式展开： 沿第 ii 行展开：

det⁡A=∑j=1n(−1)i+jaijdet⁡Aij=∑j=1naijCij\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}

其中 AijA_{ij} 是划去第 ii 行第 jj 列后的 (n−1)×(n−1)(n-1) \times (n-1) 子矩阵，Cij=(−1)i+jdet⁡AijC_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij} 是代数余子式 (cofactor)。

对 2×22 \times 2 矩阵： det⁡[abcd]=ad−bc\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc

对三角矩阵： det⁡=\det = 主对角线元素之积。

3.2 性质总表

#性质说明
1det⁡(AT)=det⁡A\det(A^T) = \det A转置不变
2det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det B乘性
3det⁡(cA)=cndet⁡A\det(cA) = c^n \det A数乘：每行提一个 cc
4det⁡(A−1)=1/det⁡A\det(A^{-1}) = 1/\det A逆的行列式
5det⁡(Ak)=(det⁡A)k\det(A^k) = (\det A)^k幂的行列式
6交换两行 → 变号Ri↔Rj⇒det⁡→−det⁡R_i \leftrightarrow R_j \Rightarrow \det \to -\det
7某行倍乘 cc → det⁡\det 乘以 ccRi→cRiR_i \to cR_i
8行倍加 → 不变Ri→Ri+cRjR_i \to R_i + cR_j
9两行相等 → det⁡=0\det = 0推论：线性相关列 → det⁡=0\det = 0
10某行全为 0 → det⁡=0\det = 0—

3.3 伴随矩阵与 Cramer 法则 — 【期中 Q6/Q7】

伴随矩阵 (Adjugate)： adj A=[Cij]T\text{adj } A = [C_{ij}]^T（余子式矩阵的转置）

A⋅adj A=(det⁡A)IA \cdot \text{adj } A = (\det A) I

Cramer 法则： 若 det⁡A≠0\det A \neq 0，

xi=det⁡Ai(b)det⁡Ax_i = \frac{\det A_i(\mathbf{b})}{\det A}

其中 Ai(b)A_i(\mathbf{b}) 是将 AA 的第 ii 列替换为 b\mathbf{b}。

重要证明结论：

  • det⁡(adj A)=(det⁡A)n−1\det(\text{adj } A) = (\det A)^{n-1}
  • adj(adj A)=(det⁡A)n−2A\text{adj}(\text{adj } A) = (\det A)^{n-2}A
  • 若 adj A=AT\text{adj } A = A^T，则 AA 可逆 → 利用 A⋅AT=(det⁡A)IA \cdot A^T = (\det A)I

3.4 典型行列式计算 — 【期末 Q5】

类型 1 — 箭头形（Arrowhead）行列式 DnD_n：

A=[2aa⋯aa2a⋯a⋮⋮⋱⋮aa⋯2a]n×nA = \begin{bmatrix} 2a & a & \cdots & a \\ a & 2a & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & 2a \end{bmatrix}_{n \times n}

Dn=(n+1)anD_n = (n+1)a^n

证明思路： 提取公因子 aa，Ri−R1 (i≥2)R_i - R_1\ (i \geq 2) 创造上三角结构，主对角线乘积 =(n+1)an= (n+1)a^n。

类型 2 — (a−b)I+bJ(a-b)I + bJ 型：

主对角线全为 aa，非对角线全为 bb。

det⁡=(a−b)n−1(a+(n−1)b)\det = (a-b)^{n-1}(a + (n-1)b)

类型 3 — 稀疏三角/三对角线 (Tridiagonal)：

递推公式：Dn=aDn−1−bcDn−2D_n = aD_{n-1} - bc D_{n-2}

类型 4 — 增行增列型（期末 Q5 2022）：

Dn=∣123⋯n103⋯n120⋯n⋮⋮⋮⋱⋮123⋯0∣D_n = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 0 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 0 \end{vmatrix}

解法： 将第一行加到所有下方行 → 上三角 → ∏i=1ni=n!\prod_{i=1}^n i = n!

第四章：向量空间 (Vector Spaces) — 【期末 Q3 必考】

4.1 向量空间与子空间

向量空间 10 条公理：

  • 加法封闭、数乘封闭
  • 加法交换律、结合律、零元、逆元
  • 数乘分配律（对标量和向量各一条）、结合律
  • 单位元乘法

子空间 (Subspace) 只需验证三条：
① 包含零向量 0\mathbf{0}
② 加法封闭：u,v∈H⇒u+v∈H\mathbf{u}, \mathbf{v} \in H \Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v} \in H
③ 数乘封闭：u∈H⇒cu∈H\mathbf{u} \in H \Rightarrow c\mathbf{u} \in H

常见例子： Rn\mathbb{R}^n 中过原点的直线和平面是子空间；不过原点则不是。

4.2 零空间、列空间、行空间 — 【期末 Q3 核心】

子空间定义所在空间维数
零空间Nul A={x∣Ax=0}\text{Nul } A = \{\mathbf{x} \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}Rn\mathbb{R}^ndim⁡Nul A=n−rank A\dim \text{Nul } A = n - \text{rank } A
列空间Col A=Span{a1,…,an}\text{Col } A = \text{Span}\{\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n\}Rm\mathbb{R}^mdim⁡Col A=rank A\dim \text{Col } A = \text{rank } A
行空间Row A=Col AT\text{Row } A = \text{Col } A^TRn\mathbb{R}^ndim⁡Row A=rank A\dim \text{Row } A = \text{rank } A

求基方法（工作示例 2024 Q3）：

A=[12115−2−404−212249]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 11 & 5 \\ -2 & -4 & 0 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 2 & 4 & 9 \end{bmatrix}

步骤：

  1. 行化简 AA 到阶梯形 → 取 pivot columns
  2. Col A\text{Col } A 的基： 取原矩阵 pivot 列（不能用阶梯形的列！）
  3. Nul A\text{Nul } A 的基： 解 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}，参数向量形式中的向量即为基
  4. Row A\text{Row } A 的基： 阶梯形的非零行（或 ATA^T 的 pivot 列）

关键区分： 列空间基来自原矩阵；行空间基来自阶梯形。

零空间基的计算模板（以 A4×6A_{4\times 6} 为例）：

行化简到 RREF → 识别 free variables → 逐一代入 xi=1x_i = 1（其余 free = 0）→ 每个 free variable 产生一个基向量。

4.3 秩定理 (Rank Theorem) — 【核心】

rank A+dim⁡Nul A=n(列数)\text{rank } A + \dim \text{Nul } A = n \quad (\text{列数})

其中 rank A=dim⁡Col A=dim⁡Row A\text{rank } A = \dim \text{Col } A = \dim \text{Row } A = pivot 列数 = 非零行数。

工作示例（期末 2024 Q1）： AA 为 7×37 \times 3 实矩阵，Nul A\text{Nul } A 由 [120],[210],[1−10]\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix} 张成。

注意这三个向量只张成 R3\mathbb{R}^3 中的二维平面（x3=0x_3=0），故 dim⁡Nul A=2\dim \text{Nul } A = 2。由秩定理：rank A=3−2=1\text{rank } A = 3 - 2 = 1。

4.4 基变换 (Change of Basis)

坐标向量： x=c1b1+⋯+cnbn  ⟺  [x]B=[c1⋮cn]\mathbf{x} = c_1\mathbf{b}_1 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n \iff [\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}

基变换矩阵： PB←CP_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} 的列是 C\mathcal{C} 基向量在 B\mathcal{B} 下的坐标。

[x]B=PB←C[x]C[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} [\mathbf{x}]_{\mathcal{C}}

求 PB←CP_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}： 行化简 [b1 ⋯ bn ∣ c1 ⋯ cn][\mathbf{b}_1 \ \cdots \ \mathbf{b}_n \ |\ \mathbf{c}_1 \ \cdots \ \mathbf{c}_n] → [I ∣ PB←C][I \ |\ P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}]

工作示例（期末复习 Q1）： S={1−2t,2−3t+t2,2t+3t2}S = \{1-2t, 2-3t+t^2, 2t+3t^2\} 为 P2\mathbb{P}_2 的基，求 p=4−7t−2t2p = 4-7t-2t^2 在 SS 下的坐标。

写向量形式 → 行化简 [v1 v2 v3 ∣ v][\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \mathbf{v}_3\ |\ \mathbf{v}] → [p]S=[−44−3][\mathbf{p}]_S = \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}

4.5 可逆矩阵定理（续·Ch4 补充）

rank A=n  ⟺  A\text{rank } A = n \iff A 可逆（n×nn \times n 方阵）

dim⁡Nul A=0  ⟺  \dim \text{Nul } A = 0 \iff 齐次系统只有平凡解   ⟺  \iff 列线性无关

AA 的列构成 Rn\mathbb{R}^n 的基   ⟺  \iff 方阵且可逆

第五章：特征值与特征向量 (Eigenvalues & Eigenvectors) — 【期末 Q6 必考】

5.1 定义与求法

定义： Ax=λxA\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}，λ\lambda 为特征值，x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} 为对应的特征向量。

特征方程：

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

特征多项式 p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda) = \det(A - \lambda I) 的根即所有特征值。

特征空间： Eλ=Nul(A−λI)E_\lambda = \text{Nul}(A - \lambda I) = 特征值 λ\lambda 对应的所有特征向量加上零向量。

工作示例（期末 2024 Q6）： 对二次型矩阵 A=[11−21−30−20−3]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -3 \end{bmatrix}，det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0 解得 λ1=2,λ2=−3,λ3=−4\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -3, \lambda_3 = -4。

5.2 重要性质

性质公式/定理
迹 = 特征值之和∑i=1nλi=tr(A)=∑i=1naii\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}
行列式 = 特征值之积∏i=1nλi=det⁡A\prod_{i=1}^n \lambda_i = \det A
不同特征值的特征向量线性无关
对称矩阵不同特征值的特征向量正交
相似：A∼B  ⟺  A=PBP−1A \sim B \iff A = PBP^{-1}同特征值、同 det⁡\det、同迹
三角矩阵特征值即对角线元素

代数重数 (Algebraic Multiplicity)： (λ−λ0)k(\lambda - \lambda_0)^k 中 kk。

几何重数 (Geometric Multiplicity)： dim⁡Eλ=dim⁡Nul(A−λI)=n−rank(A−λI)\dim E_\lambda = \dim \text{Nul}(A - \lambda I) = n - \text{rank}(A - \lambda I)。

重要关系： 1≤1 \leq 几何重数 ≤\leq 代数重数

5.3 对角化 — 【期末 Q6 高频】

对角化定理： AA 可对角化   ⟺  \iff AA 有 nn 个线性无关的特征向量   ⟺  \iff 每个特征值的几何重数 = 代数重数。

A=PDP−1A = PDP^{-1}

其中 P=[v1 ⋯ vn]P = [\mathbf{v}_1 \ \cdots \ \mathbf{v}_n]（特征向量为列），D=diag(λ1,…,λn)D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)。

AkA^k 计算： Ak=PDkP−1A^k = PD^kP^{-1}（DkD^k 直接对角线元素取 kk 次方）。

工作示例（期末 2022 Q6）： A=[0−112−30000]A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}，求 A99A^{99}。

  1. 求特征值：λ1=−2,λ2=−1,λ3=0\lambda_1 = -2, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 0
  2. 求特征向量 → 组成 PP，求 P−1P^{-1}
  3. A99=P⋅diag((−2)99,(−1)99,099)⋅P−1A^{99} = P \cdot \text{diag}((-2)^{99}, (-1)^{99}, 0^{99}) \cdot P^{-1}

5.4 出租车问题 — 【Markov 链经典应用】

两城市 A、B，每天 A 城 10% 的出租汽车开往 B，B 城 15% 开往 A。初始 A 城 120 辆、B 城 130 辆。

转移矩阵： A=[0.90.150.10.85]A = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.15 \\ 0.1 & 0.85 \end{bmatrix}

递推： x(n+1)=Ax(n)⇒x(n)=Anx(0)\mathbf{x}^{(n+1)} = A \mathbf{x}^{(n)} \Rightarrow \mathbf{x}^{(n)} = A^n \mathbf{x}^{(0)}

特征值： λ1=1\lambda_1 = 1（稳态，α1=[3,2]T\boldsymbol{\alpha}_1 = [3, 2]^T），λ2=0.75\lambda_2 = 0.75（α2=[−1,1]T\boldsymbol{\alpha}_2 = [-1, 1]^T）

通解： x(n)=c1(1)nα1+c2(0.75)nα2\mathbf{x}^{(n)} = c_1(1)^n \boldsymbol{\alpha}_1 + c_2(0.75)^n \boldsymbol{\alpha}_2

n→∞n \to \infty 时，x(n)→c1α1\mathbf{x}^{(n)} \to c_1 \boldsymbol{\alpha}_1（稳态分布）。

求稳态： 解 x(0)=c1α1+c2α2⇒c1=50\mathbf{x}^{(0)} = c_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + c_2 \boldsymbol{\alpha}_2 \Rightarrow c_1 = 50，稳态 = 50[3,2]T=[150,100]T50[3, 2]^T = [150, 100]^T。

5.5 不可对角化矩阵的判断

  • 特征值的几何重数 < 代数重数 → 不可对角化
  • 例如 A=[λ10λ]A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}（Jordan 块）：λ\lambda 代数重数 = 2，但只有 1 个线性无关的特征向量

第六章：正交性与最小二乘 (Orthogonality & Least Squares)

6.1 内积与正交

内积 (Dot Product)： u⋅v=uTv=u1v1+⋯+unvn\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^T \mathbf{v} = u_1v_1 + \cdots + u_nv_n

长度 (Norm)： ∥v∥=v⋅v\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}

单位向量： ∥u∥=1\|\mathbf{u}\| = 1。标准化：u=v∥v∥\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}

正交： u⋅v=0  ⟺  \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \iff 两向量垂直。

勾股定理（Pythagorean Theorem）： ∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2  ⟺  u⋅v=0\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 \iff \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0

正交补 (Orthogonal Complement)： W⊥={z∈Rn∣z⋅w=0 ∀w∈W}W^\perp = \{\mathbf{z} \in \mathbb{R}^n \mid \mathbf{z} \cdot \mathbf{w} = 0 \ \forall \mathbf{w} \in W\}

dim⁡W+dim⁡W⊥=n\dim W + \dim W^\perp = n，(W⊥)⊥=W(W^\perp)^\perp = W，Row A=(Nul A)⊥\text{Row } A = (\text{Nul } A)^\perp

正交矩阵： QTQ=IQ^T Q = I（即 Q−1=QTQ^{-1} = Q^T）。

  • ∥Qx∥=∥x∥\|Q\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|（保长）
  • det⁡Q=±1\det Q = \pm 1
  • 列向量构成单位正交基

6.2 正交投影 — 【高频】

y\mathbf{y} 在 u\mathbf{u} 上的正交投影：

y^=y⋅uu⋅uu\hat{\mathbf{y}} = \frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \mathbf{u}

正交分解定理： 若 WW 是 Rn\mathbb{R}^n 的子空间，则任意 y∈Rn\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n 可唯一写成：

y=y^+z,y^∈W, z∈W⊥\mathbf{y} = \hat{\mathbf{y}} + \mathbf{z}, \quad \hat{\mathbf{y}} \in W, \ \mathbf{z} \in W^\perp

其中 y^=projWy\hat{\mathbf{y}} = \text{proj}_W \mathbf{y} 是 WW 中离 y\mathbf{y} 最近的点（最佳逼近定理）。

假设 WW 有正交基 {u1,…,up}\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_p\}：

projWy=∑i=1py⋅uiui⋅uiui\text{proj}_W \mathbf{y} = \sum_{i=1}^{p} \frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_i}{\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_i} \mathbf{u}_i

6.3 Gram-Schmidt 正交化 — 【期末可能考】

从线性无关组 {x1,…,xp}\{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_p\} 构造正交基 {v1,…,vp}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_p\}：

v1=x1\mathbf{v}_1 = \mathbf{x}_1

vk=xk−∑j=1k−1xk⋅vjvj⋅vjvj(k=2,…,p)\mathbf{v}_k = \mathbf{x}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\mathbf{x}_k \cdot \mathbf{v}_j}{\mathbf{v}_j \cdot \mathbf{v}_j} \mathbf{v}_j \quad (k = 2, \ldots, p)

再单位化得到单位正交基：ui=vi∥vi∥\mathbf{u}_i = \frac{\mathbf{v}_i}{\|\mathbf{v}_i\|}

QR 分解： A=QRA = QR

  • QQ：m×nm \times n 矩阵，列相互正交（单位长度）
  • RR：n×nn \times n 上三角矩阵
  • RR 的非对角线元素 rij=qiTajr_{ij} = \mathbf{q}_i^T \mathbf{a}_j

6.4 最小二乘 (Least Squares) — 【考点】

当 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 无解时，求 x^\hat{\mathbf{x}} 使 ∥Ax−b∥\|A\mathbf{x} - \mathbf{b}\| 最小。

正规方程 (Normal Equations)：

ATAx^=ATbA^T A \hat{\mathbf{x}} = A^T \mathbf{b}

若 ATAA^T A 可逆（即 AA 的列线性无关），则：

x^=(ATA)−1ATb\hat{\mathbf{x}} = (A^T A)^{-1} A^T \mathbf{b}

最小二乘误差： ∥b−Ax^∥\|\mathbf{b} - A\hat{\mathbf{x}}\|

第七章：对称矩阵与二次型 (Symmetric Matrices & Quadratic Forms) — 【期末 Q4/Q6 必考】

7.1 谱定理 (Spectral Theorem) — 【核心·必须掌握】

实谱定理 (The Spectral Theorem for Real Symmetric Matrices)： 若 AA 是 n×nn \times n 实对称矩阵（A=ATA = A^T），则：

  1. AA 的所有特征值都是实数
  2. 不同特征值对应的特征向量相互正交
  3. AA 可以正交对角化：存在正交矩阵 PP（P−1=PTP^{-1} = P^T）使得

    A=PDPT=PDP−1A = PDP^T = PDP^{-1}

    其中 D=diag(λ1,…,λn)D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

"谱"的含义： 矩阵的谱 (spectrum) 即其特征值集合。该定理保证了对称矩阵有"纯实数谱"且特征向量构成空间的一组正交基。

正交对角化 vs 普通对角化：

对角化条件PP 的性质
普通 A=PDP−1A = PDP^{-1}有 nn 个线性无关特征向量PP 的列是特征向量
正交 A=PDPTA = PDP^TAA 对称PP 的列是单位正交特征向量

正交对角化步骤：

  1. 求 AA 的所有特征值
  2. 对每个特征值求特征空间的一组基
  3. 对每个特征空间内部执行 Gram-Schmidt 正交化（如需要）
  4. 将所有向量单位化
  5. 以这些单位正交特征向量为列组成 PP
  6. A=PDPTA = PDP^T，D=diag(λ1,…,λn)D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

注意：由于不同特征值的特征向量自动正交，只需在同特征值空间内部做 Gram-Schmidt。

7.2 二次型 (Quadratic Forms) — 【期末必考】

定义： Q(x)=xTAxQ(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}，AA 为 n×nn \times n 对称矩阵称为该二次型的矩阵。

Q(x1,…,xn)=∑i=1naiixi2+2∑i<jaijxixjQ(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2 + 2\sum_{i<j} a_{ij}x_i x_j

构造对称矩阵 AA 的规则：

项的类型AA 中的位置
平方项 axi2a x_i^2Aii=aA_{ii} = a
交叉项 2bxixj2b x_i x_jAij=Aji=bA_{ij} = A_{ji} = b

同一个二次型对应唯一对称矩阵。 不同的非对称矩阵可能定义相同的二次型，但标准化为对称矩阵后唯一。

工作示例： Q(x)=x12−3x22−3x32+2x1x2−4x1x3Q(\mathbf{x}) = x_1^2 - 3x_2^2 - 3x_3^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3

A=[11−21−30−20−3]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -3 \end{bmatrix}

(x1x2 系数 2)÷2=1→A12=A21=1(x_1x_2\text{ 系数 } 2) \div 2 = 1 \to A_{12} = A_{21} = 1；(x1x3 系数 −4)÷2=−2→A13=A31=−2(x_1x_3\text{ 系数 } -4) \div 2 = -2 \to A_{13} = A_{31} = -2

7.3 变量代换消除交叉项 — 【期末 Q4(b) 12 分大题】

通过 x=Py\mathbf{x} = P\mathbf{y}（PP 为正交矩阵）变换：

Q(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTDyQ(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = (P\mathbf{y})^T A (P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (P^T A P) \mathbf{y} = \mathbf{y}^T D \mathbf{y}

=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2= \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2

新二次型不再含交叉积项！

工作示例（2024 Q6 续）： AA 的特征值为 λ1=2,λ2=−3,λ3=−4\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -3, \lambda_3 = -4

对应单位正交特征向量 → PP → 新二次型 =2y12−3y22−4y32= 2y_1^2 - 3y_2^2 - 4y_3^2

7.4 二次型分类

类型英文条件
正定Positive Definite对所有 x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0}，Q(x)>0  ⟺  Q(\mathbf{x}) > 0 \iff 所有 λi>0\lambda_i > 0
负定Negative Definite对所有 x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0}，Q(x)<0  ⟺  Q(\mathbf{x}) < 0 \iff 所有 λi<0\lambda_i < 0
不定IndefiniteQQ 既能取正也能取负   ⟺  \iff 特征值有正有负
半正定Positive Semidefinite所有 λi≥0\lambda_i \geq 0
半负定Negative Semidefinite所有 λi≤0\lambda_i \leq 0

顺序主子式判别法： AA 正定   ⟺  \iff 所有顺序主子式 (leading principal minors) >0> 0：

det⁡A1×1>0,det⁡A2×2>0,…,det⁡An×n>0\det A_{1\times 1} > 0, \quad \det A_{2\times 2} > 0, \quad \ldots, \quad \det A_{n\times n} > 0

7.5 约束优化

max⁡∥x∥=1Q(x)=λmax⁡,min⁡∥x∥=1Q(x)=λmin⁡\max_{\|\mathbf{x}\| = 1} Q(\mathbf{x}) = \lambda_{\max}, \quad \min_{\|\mathbf{x}\| = 1} Q(\mathbf{x}) = \lambda_{\min}

极值在对应特征向量方向上取到。

附录 A：证明专题 (Proof Bank) — 【期末 Q7/Q8·10 分】

高频证明 1：u+v\mathbf{u}+\mathbf{v} 不是特征向量（2年连考）

设 λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2，Au=λ1uA\mathbf{u} = \lambda_1\mathbf{u}，Av=λ2vA\mathbf{v} = \lambda_2\mathbf{v}。证明 u+v\mathbf{u}+\mathbf{v} 不是 AA 的特征向量。

证明（反证法）：

若 A(u+v)=λ(u+v)A(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \lambda(\mathbf{u}+\mathbf{v})，则：

Au+Av=λ1u+λ2v=λu+λvA\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \lambda_1\mathbf{u} + \lambda_2\mathbf{v} = \lambda\mathbf{u} + \lambda\mathbf{v}

⇒(λ1−λ)u+(λ2−λ)v=0\Rightarrow (\lambda_1 - \lambda)\mathbf{u} + (\lambda_2 - \lambda)\mathbf{v} = \mathbf{0}

由于不同特征值 ⇒u,v\Rightarrow \mathbf{u},\mathbf{v} 线性无关，得 λ1=λ2=λ\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda，与 λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2 矛盾。■\blacksquare

高频证明 2：α,Aα,A2α,…,Am−1α\boldsymbol{\alpha}, A\boldsymbol{\alpha}, A^2\boldsymbol{\alpha}, \ldots, A^{m-1}\boldsymbol{\alpha} 线性无关

已知 Am−1α≠0A^{m-1}\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0} 且 Amα=0A^m\boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0}。

证明： 设 ∑i=0m−1ciAiα=0\sum_{i=0}^{m-1} c_i A^i \boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0}。

左乘 Am−1A^{m-1}：c0Am−1α+c1Amα+⋯=c0Am−1α=0c_0 A^{m-1}\boldsymbol{\alpha} + c_1 A^m\boldsymbol{\alpha} + \cdots = c_0 A^{m-1}\boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0}（因为 Am=0A^m=0）
⇒c0=0\Rightarrow c_0 = 0（因为 Am−1α≠0A^{m-1}\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}）。

左乘 Am−2A^{m-2}：c1Am−1α=0⇒c1=0c_1 A^{m-1}\boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0} \Rightarrow c_1 = 0。

依此类推，所有 ci=0c_i = 0。■\blacksquare

高频证明 3：tr(AB)=tr(BA)\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)

tr(AB)=∑i=1n(AB)ii=∑i=1n∑k=1naikbki=∑k=1n∑i=1nbkiaik=∑k=1n(BA)kk=tr(BA)\text{tr}(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki} = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n b_{ki}a_{ik} = \sum_{k=1}^n (BA)_{kk} = \text{tr}(BA)

其他常见证明

  1. adj(adj A)=(det⁡A)n−2A\text{adj}(\text{adj } A) = (\det A)^{n-2}A — 利用 A⋅adj A=(det⁡A)IA \cdot \text{adj } A = (\det A)I
  2. det⁡(adj A)=(det⁡A)n−1\det(\text{adj } A) = (\det A)^{n-1} — 对 A⋅adj A=(det⁡A)IA \cdot \text{adj } A = (\det A)I 两边求行列式
  3. I−AI-A 可逆（当 Ak=0A^k = 0） — (I−A)(I+A+A2+⋯+Ak−1)=I−Ak=I(I-A)(I+A+A^2+\cdots+A^{k-1}) = I - A^k = I
  4. Householder 反射对称正交 — (I−2xxT)T=I−2xxT(I-2\mathbf{x}\mathbf{x}^T)^T = I-2\mathbf{x}\mathbf{x}^T，(I−2xxT)2=I(I-2\mathbf{x}\mathbf{x}^T)^2 = I
  5. {β,β+α1,…,β+αs}\{\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_1, \ldots, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_s\} 线性无关 — 利用 αi\boldsymbol{\alpha}_i 是 Nul A\text{Nul } A 的基且 Aβ≠0A\boldsymbol{\beta} \neq 0
  6. 若 v1,…,vmv_1, \ldots, v_m 无关且 {v1+w,…,vm+w}\{v_1+w, \ldots, v_m+w\} 相关，则 w∈Span{v1,…,vm}w \in \text{Span}\{v_1, \ldots, v_m\} — 写组合式反证

附录 B：“Find h” 题型汇总

这是本课程最具特色的题型，散布在期中/期末的讨论题部分。

题型方法示例来源
b\mathbf{b} 在 v1,v2,v3\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 的 Span\text{Span} 中？行化简 $[\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \mathbf{v}_3\\ \mathbf{b}]$，使系统一致
确定 hh 使系统（无解 / 唯一解 / 无穷解）行化简 → 分析 pivot 条件期中 Q3.2
确定 hh 使矩阵可逆det⁡≠0\det \neq 0 或行化简判断期中 Q3.3
确定 hh 使齐次系统有非平凡解det⁡=0\det = 0（方阵）或行化简9LA Q3.2
确定 hh 使 Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b} 对所有 b∈R3\mathbf{b} \in \mathbb{R}^3 有解每行都有 pivot（行化简）9LA Q3.3

附录 C：公式总表

编号公式章节
①(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}§2.2
②(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T§2.2
③det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det B§3.2
④det⁡(cA)=cndet⁡A\det(cA) = c^n \det A§3.2
⑤det⁡(A−1)=1/det⁡A\det(A^{-1}) = 1/\det A§3.2
⑥A⋅adj A=(det⁡A)IA \cdot \text{adj } A = (\det A)I§3.3
⑦xi=det⁡Ai(b)/det⁡Ax_i = \det A_i(\mathbf{b}) / \det A（Cramer）§3.3
⑧rank A+dim⁡Nul A=n\text{rank } A + \dim \text{Nul } A = n§4.6
⑨det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0（特征方程）§5.2
⑩∑λi=tr(A)\sum \lambda_i = \text{tr}(A)，∏λi=det⁡A\prod \lambda_i = \det A§5.2
⑪A=PDP−1⇒Ak=PDkP−1A = PDP^{-1} \Rightarrow A^k = PD^kP^{-1}§5.3
⑫ATAx^=ATbA^T A \hat{\mathbf{x}} = A^T \mathbf{b}（正规方程）§6.5
⑬vk=xk−∑j=1k−1xk⋅vjvj⋅vjvj\mathbf{v}_k = \mathbf{x}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\mathbf{x}_k \cdot \mathbf{v}_j}{\mathbf{v}_j \cdot \mathbf{v}_j} \mathbf{v}_j（G-S）§6.3
⑭谱定理：A=AT⇒A=PDPTA = A^T \Rightarrow A = PDP^T（正交对角化）§7.1
⑮Q(x)=xTAxQ(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}，x=Py⇒Q=∑λiyi2\mathbf{x} = P\mathbf{y} \Rightarrow Q = \sum \lambda_i y_i^2§7.2

附录 D：课后作业考点速查

作业章节核心内容
HW1§1.1-1.5行化简到 RREF、pivot 位、通解参数形式、线性组合判定、含参数一致性
HW2§1.5-1.9Span 与列空间、参数向量形式、构造指定解集的矩阵
HW3§2.1-2.3矩阵乘法（列规则）、逆矩阵 [A∣I][A|I] 算法、可逆性证明、三角矩阵可逆条件
HW4§2.4-2.5分块矩阵、Schur 补、Householder 反射 (I−2xxT)(I-2\mathbf{x}\mathbf{x}^T)、外积
HW5§3.1-3.3行列式（5×5 稀疏阵）、性质、伴随矩阵、Cramer 法则、箭头形 DnD_n
HW6§4.1-4.4子空间验证、Span 与零空间/列空间基、多项式空间坐标
HW7§4.5-4.7秩定理、三空间基、相似性与对角化条件、rank(AQ)=rank(A)\text{rank}(AQ) = \text{rank}(A)
HW8§5.1-5.4特征值（幂零、列和）、特征多项式、对角化（4×4）、不可对角化条件
HW9§6.1-6.5正交补、正交构造、Gram-Schmidt、正交分解、最近点
HW10§7.1-7.3对称矩阵正交对角化、二次型分类（正定/负定/不定）、正定性证明

附录 E：历年真题题型分布

题号分值常考内容章节
Q110-15秩定理 / 行等价矩阵 / 解线性系统Ch1, 4
Q210-15含参系统求解 / 矩阵方程 (I+B)−1(I+B)^{-1} / 递推行列式Ch1-3
Q315Nul A\text{Nul }A, Col A\text{Col }A, Row A\text{Row }A 基Ch4
Q410-15矩阵方程 ABAT=⋯ABA^T = \cdots / 二次型正交对角化Ch2, 7
Q510-15行列式 DnD_n 计算 / det⁡13A2\det \frac{1}{3}A^2Ch3
Q615对角化 + AkA^k / 二次型 + 变量代换Ch5, 7
Q710证明：u+v\mathbf{u}+\mathbf{v} 非特征向量Ch5
Q810证明：α,Aα,…\boldsymbol{\alpha}, A\boldsymbol{\alpha}, \ldots 线性无关 / {β,β+αi}\{\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_i\} 无关Ch4-5

总结

本课程以教材第 1–7 章为骨架，知识链紧密相扣：

  1. Ch1-2（运算基础）： 行化简 + 矩阵代数 + IMT — 后续所有内容的计算工具
  2. Ch3（行列式）： Cramer 法则、伴随矩阵 — 理论证明的利器
  3. Ch4（向量空间）： 三空间基 + 秩定理 — 抽象结构的具象化
  4. Ch5（特征值）： 对角化 A=PDP−1A = PDP^{-1} + AkA^k 计算 — 动力系统的核心
  5. Ch6（正交性）： Gram-Schmidt + 最小二乘 — 数据拟合的数学基础
  6. Ch7（二次型 + 谱定理）： 正交对角化 A=PDPTA = PDP^T + 二次型分类 — 期末大题标配

考试策略： Q1-Q6 计算题（约 80 分）重在熟练度和准确率；Q7-Q8 证明题（约 20 分）重在记住上述标准证明模板。IMT、秩定理、谱定理是贯穿全课程的三条主线。

学习笔记
#期末复习 #线性代数 #UESTC1001 #矩阵 #特征值 #二次型 #向量空间
线性代数复习总览
https://brightnewmoon.top/2026/06/06/Linear-Algebra-Review/
作者
BrightNewMoon
发布于
2026年6月6日
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